電子格子相互作用と Cooper 対 ― 遅延した引力，Cooper の問題，BCS–BEC クロスオーバーと「超伝導の泡」

― マテリアル計算科学第 7 回（スライド 33–34）「超伝導って，Fermion が Boson のように振る舞うってこと」の続きとして，対になるシミュレーター（cooper-pair-simulator.html）の解説・導出・文献

第 7 回の講義では，Fermi 粒子である電子が超伝導状態では 2 個ずつ対（Cooper 対）を組み，スピン角運動量の合計が 0 の Boson のように振る舞って凝縮する，と説明しました．スライド 34 の上段には対を作る 2 つの機構 ― 格子振動によるもの（BCS 機構，合金系に多く，機構は解明済み；高温にするには超高圧が要る）と，反強磁性スピン揺らぎによるもの（銅酸化物など，常圧で高温だが機構は未解明）― が，下段には電子密度を高い側から低い側へ動かしたときの「対形成の空間領域」＝俗に言う超伝導の泡の変化 ― BCS 極限では泡が大きく重なり合い，BEC 極限では小さな孤立した対になる ― と， BCS の対は熱揺らぎで簡単に壊れる（常温超伝導が難しい理由）ことが描かれています．

この解説では，(i) 電子どうしの Coulomb 斥力にもかかわらず格子を介した遅延した引力が働く仕組み（重い元素と軽い元素の違い，同位体効果），(ii) Cooper の問題と対の大きさ，(iii) BCS 基底状態の対を実空間で見たときの波動関数， (iv) BCS 極限から BEC 極限までを一つの理論でつなぐBCS–BEC クロスオーバーと，そこから読める「泡」の絵の定量的な意味，を順に説明します．

この解説の道筋 §1 スライド 33–34 の要点． §2 格子がつくる遅延した引力：遮蔽，イオンの遅い応答，Bardeen–Pines の有効相互作用，同位体効果，なぜ (k↑, −k↓) か． §3 Cooper の問題：どんなに弱い引力でも束縛する． §4 BCS 基底状態と実空間の対波動関数． §5 BCS–BEC クロスオーバーと「超伝導の泡」：対の大きさ，T* と T_c，熱揺らぎ，銅酸化物・冷却原子・水素化物． §6 実装ノート．§7 文献．

スライド 33–34 の要点
格子がつくる遅延した引力
Cooper の問題
BCS 基底状態と実空間の対波動関数
BCS–BEC クロスオーバーと「超伝導の泡」
実装ノート
参考文献

1. スライド 33–34 の要点 ― Fermion が Boson のように振る舞う

スピンの合計が 0：スピン ↑（S_z = ħ/2）と ↓（−ħ/2）の電子が対を組むと，対のスピンは 0 で Boson っぽくなる．物質を構成する粒子が力を伝える粒子のように振る舞い，抵抗なく流れる．
2 つの機構：格子振動（フォノン）による対形成は BCS 理論で解明済みで，元素・合金の超伝導体はこれ．反強磁性スピン揺らぎによる対形成は銅酸化物・鉄系などで，常圧で高い T_c を出すが機構は未解明．
超伝導の泡：対を作る 2 電子が相関している空間領域．電子密度が高い（Fermi エネルギーが大きく，結合が相対的に弱い）BCS 極限では，泡は電子間隔よりはるかに大きく，何重にも重なる．密度が低い（結合が相対的に強い）BEC 極限では泡は小さく，孤立した分子になる．
熱揺らぎ：BCS の対は束縛エネルギーが小さく（2Δ ≈ 数 meV），室温の熱エネルギー 26 meV で壊れる．これが常温超伝導が難しい理由．

以下ではこの 4 点を，数式と数値で裏づけていきます．

2. 格子がつくる遅延した引力 ― Coulomb 斥力をどうやって出し抜くか

2.1 電子どうしの斥力は 0.1 nm で遮蔽される

金属中の 2 個の電子の間の Coulomb 斥力は，まわりの伝導電子が瞬時に動いて遮蔽します．Thomas–Fermi 近似では

(1)

V (r) = \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} r} e^{- k_{TF} r}, k_{TF}^{2} = \frac{3 n e^{2}}{2 ε_{0} E_{F}} ⟹ \frac{1}{k_{TF}} \approx 0.05 – 0.1 nm

で，斥力の届く範囲は格子定数以下です．したがって 2 個の電子が同じ場所に同時に来なければ，斥力は問題になりません．引力はこの条件を満たす形で働く必要があります．

2.2 イオンは遅い ― 電子が去ったあとに正電荷の跡が残る

正イオンは電子より 10⁴–10⁵ 倍重く，格子振動の周期は 2π/ω_D ≈ 10⁻¹³ s です．一方，電子は Fermi 速度 v_F ≈ 10⁶ m/s で走るので，イオンが 1 回振動する間に

(2)

ℓ = \frac{2 π v_{F}}{ω_{D}} \approx 50 – 500 nm ≫ \frac{1}{k_{TF}}

だけ進んでしまいます．電子が近くを通るとイオンは電子に引かれて動き始めますが，最も寄り集まるのは電子が去ったあとです．寄り集まった場所は正電荷が濃く，電子 1 が通ってから 10⁻¹³ s ほどのあいだ，電子 1 の後方数十 nm にわたって「正電荷の跡」が残ります．あとから来る電子 2 はこの跡に引き寄せられます．電子 1 とは時間的にも空間的にも離れているので Coulomb 斥力は届かず，格子の「記憶」を通した引力だけが働く ― これが遅延した引力です．シミュレーター①はこの過程を，ばねでつながれたイオン（減衰調和振動子）と，柔らかくした Coulomb 引力で駆動する模型で描きます：

(3)

M {\ddot{u}}_{i} = - M ω_{0}^{2} u_{i} - M γ {\dot{u}}_{i} + \sum_{e = 1, 2} \frac{g (r_{e} - R_{i})}{{({| r_{e} - R_{i} |}^{2} + r_{c}^{2})}^{3 / 2}}

正電荷の濃さは変位の発散 −∇·u（イオンが寄り集まると正）で色づけし，電子 2 のポテンシャルは動いたイオンの Coulomb ポテンシャルの変位分と，電子 1 からの遮蔽斥力 (1) の和で描いています．質量 M を重くすると ω₀ ∝ M^−1/2 が下がり，跡は電子の後方に長く延びます．軽くするとイオンは電子に追随してすぐ戻り，跡は短い ― これが冒頭の図（質量が重い元素と軽い元素の電子格子相互作用）の意味です． ▶ シミュレーター①：格子の跡と遅延した引力

2.3 Fröhlich・Bardeen–Pines の有効相互作用と同位体効果

この描像を量子論で書くと，電子 1 がフォノン（波数 q，振動数 ω_q）を放出し電子 2 が吸収する 2 次摂動になり，遮蔽 Coulomb と合わせた有効相互作用は（Bardeen–Pines 1955；Fröhlich 1950）

(4)

V_{eff} (q, ω) = \frac{e^{2}}{ε_{0} (q^{2} + k_{TF}^{2})} [1 + \frac{ω_{q}^{2}}{ω^{2} - ω_{q}^{2}}] = \frac{e^{2}}{ε_{0} (q^{2} + k_{TF}^{2})} \frac{ω^{2}}{ω^{2} - ω_{q}^{2}}

ħω は 2 電子の間のエネルギー移行（ξ_k − ξ_k′）です．|ω| < ω_q のとき V_eff < 0，すなわち引力：エネルギー移行がフォノンのエネルギーより小さい，ゆっくりした過程でだけ引力になります．これが「遅延」の運動量空間版で，BCS はこれを「Fermi 面から ħω_D 以内の電子どうしに一定の引力 −V」と単純化しました．イオンの質量 M を同位体で変えると ω_D ∝ M^−1/2，BCS の T_c = 1.13 θ_D e^−1/N(0)V は θ_D に比例するので

(5)

T_{c} \propto M^{- α}, α = \frac{1}{2} （BCS）; 実測 Hg 0.50，Pb 0.49，Sn 0.47，Zn 0.45

この同位体効果（Maxwell 1950，Reynolds ら 1950）が，超伝導に格子振動が関わる決定的な証拠になりました．遷移金属で α が 1/2 からずれるのは Coulomb 擬ポテンシャル μ* の効果です（McMillan）．重い元素ほど ω_D が小さく，跡は長く残る一方で，引力の働く「窓」ħω_D は狭くなります．それでも Pb や Hg の T_c が高いのは，軟らかい格子ほど電子格子結合 λ が大きいためです．逆に軽い水素の格子は ω_D が非常に大きく，超高圧下の水素化物（H₃S 203 K，LaH₁₀ ≈ 250 K）が BCS 機構で高い T_c を出す理由になっています ― スライドの「高温超伝導には超高圧が必要」の意味です．

2.4 なぜ (k↑, −k↓) の対なのか

①の「追走」の絵では電子 2 が電子 1 と同じ向きに走りますが，実際の Cooper 対は運動量 k と −k（重心が静止）の対です．引力 (4) は Fermi 面から ħω_D の殻の中の電子どうしに働き，重心運動量 K = 0 のとき，k と −k の両方が殻に入る組合せが最も多い（散乱できる相手が最も多い）ので束縛が最も強くなります（§3）．スピンは，空間部分を対称（s 波）にして引力を最大限に使うために反対称の一重項 (↑↓ − ↓↑)/√2 になります．格子の跡の絵は「電子 1 が作った格子の振動（仮想フォノン）を電子 2 が受け取る」という 1 回の散乱過程の実空間版であり，対そのものは運動量空間で定義されるものだと理解してください．

3. Cooper の問題 ― どんなに弱い引力でも束縛する

Cooper (1956) は，満ちた Fermi 海の上に 2 個の電子を置き，Fermi 面から ħω_D 以内でだけ働く引力 −V を仮定しました．相対運動の波動関数を Σ_kg_ke^{ik·(r₁−r₂)}（k > k_F）とおくと Schrödinger 方程式は

(6)

(E - 2 ξ_{k}) g_{k} = - V \sum_{k^{'}} g_{k^{'}} ⟹ 1 = N (0) V \int_{0}^{ℏ ω_{D}} \frac{d ξ}{2 ξ - E} ⟹ E ≃ - 2 ℏ ω_{D} \exp (- \frac{2}{N (0) V})

E < 0 の束縛状態が V がどんなに小さくても存在します（3 次元の自由な 2 粒子では引力に閾値があるのと対照的）．Fermi 海が k < k_F の状態を塞いでいるため，状態密度が一定の実効的に 2 次元の問題になるからです．束縛エネルギー |E| に対応する運動量の不確定さ δk ≈ |E|/ħv_F の逆数が対の大きさで，BCS の Δ で書くと

(7)

ξ_{0} = \frac{ℏ v_{F}}{π Δ} \approx 10^{2} – 10^{3} nm, N_{in} = n \cdot \frac{4 π}{3} ξ_{0}^{3} = \frac{4}{9 π} {(k_{F} ξ_{0})}^{3} \approx 10^{8} – 10^{11}

Pippard のコヒーレンス長 ξ₀ は電子間隔（0.2–0.3 nm）の 10³ 倍で，1 つの対の広がりの中に 10⁸–10¹¹ 個の他の電子がいます．これがスライド 34 の「重なり合う泡」の定量的な意味です．

4. BCS 基底状態と実空間の対波動関数

BCS の基底状態 |ψ⟩ = Π_k(u_k + v_kc^†_k↑c^†_−k↓)|0⟩ では，(k↑, −k↓) が対として占有される確率が v_k²，対振幅（k の対が「いる」振幅）が u_kv_k です．

(8)

v_{k}^{2} = \frac{1}{2} (1 - \frac{ξ_{k}}{E_{k}}), φ_{k} \equiv \frac{v_{k}}{u_{k}} = \frac{Δ}{ξ_{k} + E_{k}}, φ (r) = \sum_{k} φ_{k} e^{i k \cdot r} \propto \int_{0}^{\infty} k^{2} φ_{k} \frac{\sin k r}{k r} d k

|ψ⟩ を粒子数 N に射影すると，全電子が同じ対関数 φ(r₁ − r₂) で対を組む反対称化積 𝒜[φ(1,2)φ(3,4)⋯] になります（Schrieffer の「対関数の凝縮」）．φ(r) は ↑ の電子から見た ↓ の相手の相対波動関数で，BCS 側では Fermi 面付近の k だけが寄与するため波長 2π/k_F で振動しながら ξ₀ まで延びる形になります．Kadin (2007) の解析形は φ(r) ∝ (sin k_Fr/k_Fr)·K₀(r/πξ₀)（K₀ は変形 Bessel 関数）で，シミュレーター③は (8) の積分を数値的に行って，BCS 側から BEC 側（分子の e^−r/a/r）まで連続に描きます．泡が重なる BCS 側では「どの 2 個が対か」を実空間で指すことはできず，φ(r) は「↑ の電子の近くに ↓ の電子がいる確率が無相関の場合よりどれだけ増えるか」の振幅（対相関）として読むのが正確です． ▶ シミュレーター③：対の波動関数 φ(r)

5. BCS–BEC クロスオーバーと「超伝導の泡」

5.1 一つの理論で BCS 極限から BEC 極限まで

引力を強くしていくと，Fermi 面の薄い殻だけで対を組む BCS 状態は，連続的に，実空間で束縛した分子（サイズ a）の Bose–Einstein 凝縮へ移り変わります（Eagles 1969；Leggett 1980；Nozières–Schmitt-Rink 1985）．相互作用を散乱長 a で特徴づけ，無次元パラメーター 1/(k_Fa)（弱結合で −∞，強結合で +∞）を使うと，T = 0 の平均場（BCS）理論はギャップ方程式と数の方程式の連立で書けます（エネルギーの単位 E_F，波数の単位 k_F；x = k/k_F）：

(9)

\frac{1}{k_{F} a} = \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} d x [1 - \frac{x^{2}}{E}], \frac{2}{3} = \int_{0}^{\infty} d x x^{2} [1 - \frac{x^{2} - \tilde{μ}}{E}], E = \sqrt{{(x^{2} - \tilde{μ})}^{2} + {\tilde{Δ}}^{2}}

第 1 式は BCS のギャップ方程式の発散を散乱長で繰り込んだもの，第 2 式は電子数の保存（n = Σ_k2v_k²）で，BCS 理論では μ = E_F と固定していた化学ポテンシャルを未知数にする点が要です．解の性質：

BCS 極限（1/(k_Fa) → −∞）：μ̃ → 1，Δ̃ ≈ (8/e²) exp(−π/2k_F|a|)．実際の金属は Δ/E_F ≈ 10⁻⁴，1/(k_Fa) ≈ −5〜−8 に相当します．
ユニタリー（1/(k_Fa) = 0）：μ̃ = 0.59，Δ̃ = 0.69（平均場；量子 Monte Carlo では 0.37，0.5 程度）．
BEC 極限（→ +∞）：μ̃ → −E_b/2E_F = −1/(k_Fa)²（分子の束縛エネルギーの半分），Δ̃ ∝ (k_Fa)^−1/2．μ は 1/(k_Fa) ≈ 0.55 で符号を変えます．

対の大きさは対振幅 φ_k = u_kv_k = Δ/2E_k（Fermi 面のまわりに幅 Δ で局在する量で，(8) の v_k/u_k とは別物です）の運動量空間での広がりから（Pistolesi–Strinati 1994）

(10)

ξ_{pair}^{2} = \frac{\int_{0}^{\infty} k^{2} {| d φ_{k} / d k |}^{2} d k}{\int_{0}^{\infty} k^{2} φ_{k}^{2} d k}, k_{F} ξ_{pair} \to {\begin{matrix} \sim E_{F} / Δ & （BCS） \\ k_{F} a / \sqrt{2} & （BEC） \end{matrix}

電子間隔 d = n^−1/3 = 3.09/k_F と比べると，BCS 側 ξ_pair ≫ d（泡が重なる），BEC 側 ξ_pair ≪ d（孤立した分子）です．ξ_pair = d，すなわち k_Fξ_pair = 3.09 となるのはユニタリーのやや BCS 側で，ユニタリー（k_Fξ_pair ≈ 1–2）では泡はすでに電子間隔より小さくなっています．1 つの泡の中の電子数 (4/9π)(k_Fξ_pair)³ が，スライドの絵で「泡の中に何個の電子が見えるか」に対応します． ▶ シミュレーター②：泡の絵と μ・Δ・ξ_pair

5.2 対ができる温度 T* と凝縮する温度 T_c

有限温度の平均場理論（Δ → 0 の条件）から得られる転移温度は，BCS 側では実際の T_c ですが，BEC 側では「分子ができる温度」T*（束縛エネルギー E_b の程度）を与えるだけで，凝縮はもっと低い温度で起こります：

(11)

k_{B} T_{BEC} = \frac{2 π ℏ^{2}}{2 m} {(\frac{n / 2}{ζ (3 / 2)})}^{2 / 3} = 0.218 k_{B} T_{F}

（質量 2m，密度 n/2 の理想 Bose 気体）．したがって T_c は BCS 側で T* に沿って指数関数的に上がり，ユニタリー付近で T_c/T_F ≈ 0.2 に達し（冷却原子の実測は 0.17，Ku ら 2012），BEC 側では T_BEC ∝ n^2/3/m で頭打ちになります． BEC 側の T_c < T < T* の領域では，対はあるが凝縮していない「擬ギャップ」状態になります．シミュレーター②の右図は平均場 T*，T_BEC，および両者をつないだ目安 (1/T*² + 1/T_BEC²)^−1/2（模式的な補間）を描いています．

5.3 熱揺らぎ ― なぜ常温超伝導は難しいか

対を壊すのに要するエネルギーは 2 min_kE_k，すなわち μ > 0 なら 2Δ，μ < 0 なら 2√(μ² + Δ²) ≈ E_b です．BCS の元素超伝導体では 2Δ ≈ 3.5 k_BT_c ≈ 0.3–4 meV で，室温 k_B·300 K = 26 meV の熱揺らぎで即座に壊れます ― これがスライドの「熱揺らぎによってこの電子対は簡単に破られてしまう」． BEC 側へ寄せて束縛を強くすれば対は壊れなくなりますが，凝縮温度は (11) の T_BEC で制限されます．T_F ≈ 5×10⁴ K の金属なら T_BEC ≈ 10⁴ K で余裕がありますが，そのためには 1/(k_Fa) ≈ 0 まで結合を強める必要があり，フォノン機構では λ ≈ 1 程度が限度（Eliashberg 理論の格子不安定性）です．

実際の高温超伝導体はどうか．銅酸化物は Uemura プロット（T_c 対 T_F）で T_c/T_F ≈ 0.02–0.05 と BEC 側の上限に近く，コヒーレンス長は 1–2 nm，泡の中の電子は数個〜十数個で，スライドの「クロスオーバー」の絵に近い状態です．不足ドープ側では T_c より高温に擬ギャップがあり，Emery–Kivelson (1995) はこれを「対はできているが位相が揃っていない」状態と解釈しました．走査トンネル顕微鏡で Bi₂Sr₂CaCu₂O_8+δ を観ると，T_c より上の温度で対形成ギャップがナノメートルの斑（まだら）として現れ，冷やすと広がって全体を覆います（Gomes ら 2007）― 文字どおり「超伝導の泡」が個別に見える例です．乱れた薄膜超伝導体でも，乱れが強いと超伝導が島状（emergent granularity）になり，島の中では対があるのに島どうしの位相が揃わずに絶縁体化することが，理論（Ghosal–Randeria–Trivedi 2001；Dubi–Meir–Avishai 2007）と STM（Sacépé ら 2011）で示されています．

まとめ：Cooper 対はどうやってできるか (1) 電子が通ると重いイオンが遅れて引き寄せられ，電子の後方数十 nm に正電荷の跡が残る．(2) 別の電子がその跡に引かれる ― 2 電子は同時に同じ場所にいないので Coulomb 斥力（0.1 nm で遮蔽）を避けられる．運動量空間では ħω < ħω_D のフォノン交換が引力． (3) Fermi 海の上ではこの弱い引力でも必ず束縛状態ができ（Cooper），対の大きさは ξ₀ = ħv_F/πΔ ≈ 10²–10³ nm で，泡の中に 10⁸–10¹¹ 個の電子がいる（BCS 極限）．(4) 結合を強める（密度を下げる）と泡は縮み，ユニタリー付近で電子間隔と同程度，BEC 極限では孤立した分子になる． (5) BCS の対は 2Δ ≈ meV で室温の熱揺らぎに壊され，BEC 側では T_c ≤ 0.2 T_F で頭打ち ― 常温超伝導が難しい理由．

6. 実装ノート

①の格子模型：17×9 のイオンを (3) で時間発展（半陰的 Euler，1 フレームを 4 分割）．時間の単位は基準質量 M = 1 のイオンの周期 T₀，長さの単位は格子定数．電子 1 は等速，電子 2 は「追走」では電子 2 のポテンシャル U₂(x)（変位したイオンの引力の変位分＋遮蔽斥力 1.6e^−d/0.6/√(d² + 0.15)）に従う 1 次元運動（速度を v に緩和），「すれ違い」では逆向きに等速で通過し谷で得るエネルギーを表示．正電荷の色は −∇·u を中心差分で評価．描画の変位は 3.2 倍に誇張．右下の応答曲線は幅 0.8/v の矩形パルスで駆動した減衰振動子．実数の読み出しは各元素の θ_D・v_F・n（自由電子）から ω_D，v_F/ω_D，k_TF を計算．
②③のクロスオーバー解：(9) を Fermi 面 x = √μ̃ の近傍を細かくした複合 Simpson 格子（合計 2600 点，x ≤ 40 で打ち切り，1/x の尾を解析的に補正）で積分し，Δ̃ の対数格子（111 点）ごとに μ̃ を 2 分法で解いて 1/(k_Fa) との対応表を作り，線形補間．ユニタリーで μ̃ = 0.590，Δ̃ = 0.687 を再現．対の大きさは (10) を同じ格子で評価．平均場 T* は Δ = 0 の 2 式を t = T/T_F の格子で解いて表にした．
②の泡の絵：2 次元の箱に 42 対を乱数で配置し，平均間隔 d を画素で決め，泡の半径を 3 次元の比 ξ_pair/d に比例させる（4.5d で打ち切り）．壊れる対の割合は Boltzmann 因子 e^{−E_pair/k_BT} の目安（平衡の準粒子数の厳密な計算ではない）．エネルギーの実数化は E_F = 5 eV（金属），0.3 eV（銅酸化物），k_B·1 µK（冷却原子）の 3 通り．
③の φ(r)：(8) の積分を r ≤ max(12, 4k_Fξ_pair + 8)/k_F の 260 点で評価し，φ(0) と r²|φ|² の最大値で規格化．2 次元断面は |φ(r)|²^0.35 で濃淡づけ（振動が見えるようにガンマ補正）．
数式はブラウザ標準の MathML，外部ライブラリ・通信なし．?embed=1，?only=wake|bubble|pair，#bubble などは他のシミュレーターと同じ作法．

7. 参考文献

マテリアル計算科学第 7 回（PDF/マテリアル計算科学_第7回.pdf）スライド 32–34：Fermion と Boson，格子振動／反強磁性スピン揺らぎによる電子対形成，BCS 極限〜BEC 極限の「超伝導の泡」．
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N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Saunders, 1976)；C. Kittel, Introduction to Solid State Physics（同位体効果の表，Thomas–Fermi 遮蔽）；G. A. Webb, F. Marsiglio, and J. E. Hirsch, Physica C 514, 17 (2015)（θ_D）；M. Kawamura et al., arXiv:2603.05123 (2026)（v_F）．

東京理科大学望月研究室．マテリアル計算科学第 7 回（スライド 33–34）の「Fermion が Boson のように振る舞う」「超伝導の泡」を，電子格子相互作用・Cooper の問題・BCS–BEC クロスオーバーで定量化したものです．数値実験はシミュレーター（cooper-pair-simulator.html）へ．関連：超伝導の自由エネルギーと自発的対称性の破れ・相対論的量子力学．数式はブラウザ標準の MathML で組んでいます（外部ライブラリ・通信は一切ありません）．