素粒子物理学入門 — 目次 付録 / 付録B

付録B崩壊率と散乱断面積の公式集

素粒子物理学の実験家が測る量は，突きつめれば二つしかない．粒子がどれだけ速く壊れるか（崩壊率 $\Gamma$，あるいは寿命 $\tau$）と，粒子どうしがどれだけ当たりやすいか（断面積 $\sigma$）である．一方，理論家がファインマン則から計算するのは振幅 $\mathcal{M}$ という複素数である．この二つをつなぐ橋が本付録の主題である．橋は二本しかない．一本は崩壊のための橋，もう一本は散乱のための橋．どちらも「$\abs{\mathcal{M}}^2$ に位相空間の重みを掛けて，終状態について足し上げる」という同じ構造をしている．

第8章では，この二本の橋を Fermi の黄金律から導いた．本付録の役割は，そこで得た公式を使える形にたたみ込み，一箇所に集めることである．一般公式のままでは多重積分が残っていて数値が出ない．そこで二体崩壊・三体崩壊・二体散乱という，実際に使う三つの場合について位相空間積分を最後まで実行し，$\abs{\mathcal{M}}^2$ さえ分かれば電卓で数値が出る形にする．具体的には次の三本が本付録の到達点である．

$$ \Gamma_{1\to2} = \frac{S\,\abs{\pp}}{8\pi\, m_1^2}\,\abs{\mathcal{M}}^2, \qquad \frac{\dd\Gamma_{1\to3}}{\dd m_{23}^2\,\dd m_{34}^2} = \frac{S\,\abs{\mathcal{M}}^2}{32(2\pi)^3\, m_1^3}, \qquad \frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}\bigg|_\text{CM} = \frac{S\,\abs{\mathcal{M}}^2}{64\pi^2 s}\frac{\abs{\pp_f}}{\abs{\pp_i}} $$

そして，公式を手に入れたら次は単位である．自然単位系 $\hbar=c=1$ で計算すると，崩壊率は GeV，断面積は GeV$^{-2}$ という奇妙な単位で出てくる．これを秒とバーンに戻すには $\hbar c=197.327\ \mathrm{MeV\,fm}$ と $(\hbar c)^2 = 0.3894\ \mathrm{GeV^2\,mb}$ の二つを知っていればよい．B.3 節はその換算表であり，本書のどの章からも参照される．換算は機械的な作業に見えるが，桁を一つ落とすだけで「実験と合う」が「合わない」に変わるので，退屈でも一度は自分の手で通しておく価値がある．

B.4 節の Breit–Wigner 共鳴は，本付録でもっとも材料科学に近い場所である．不安定粒子の断面積が $1/[(E-E_R)^2+\Gamma^2/4]$ という Lorentz 型になること，その半値全幅 $\Gamma$ が寿命 $\tau=\hbar/\Gamma$ の逆数であること——これは共鳴の近くでは減衰振動子の応答関数と同じ式である．Raman スペクトルのフォノン線幅から寿命を読む作業と，$Z$ ボソンの共鳴曲線の幅から寿命を読む作業は，数式のレベルで同一である．『線形応答理論入門』第2章・第3章で減衰振動子と応答関数を扱った読者は，本節を「同じ話の素粒子版」として読めるはずである．

最後の B.5 節には，実際に数値を出した例を並べた．$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ の断面積，$\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$ の寿命，$\mu$ 崩壊の $G_F^2m_\mu^5/192\pi^3$，中性子捕獲の平均自由行程，そして DT 核融合の反応率と第一壁の照射損傷．公式は覚えなくてよいが，「$Z$ の寿命は $10^{-25}$ 秒」「熱中性子は $\mathrm{B_4C}$ を $1\ \mathrm{mm}$ で止められる」「DT プラズマの核融合出力密度は $\mathrm{MW/m^3}$ 級」といった数の感覚は，一度自分で計算して身につけておくと一生使える．

この付録で学ぶこと
  • 崩壊率 $\Gamma$，部分幅 $\Gamma_i$，分岐比 $\mathrm{BR}_i=\Gamma_i/\Gamma$，寿命 $\tau=\hbar/\Gamma$ の定義と相互関係
  • 崩壊の一般公式（黄金律）と，統計因子 $S$ が同種粒子の重複数えを打ち消すという意味
  • 二体崩壊の位相空間積分を最後まで実行し，$\Gamma = S\abs{\pp}\abs{\mathcal{M}}^2/(8\pi m_1^2)$ を導くこと
  • Källén 関数 $\lambda(x,y,z)$ による終状態運動量 $\abs{\pp}$ の一般式と，しきい値近傍のふるまい
  • 三体崩壊の位相空間が $\dd m_{23}^2\,\dd m_{34}^2$ について平坦であること（Dalitz プロットの原理）と境界曲線の式
  • 断面積の定義，ルミノシティ，および Lorentz 不変フラックス因子 $4\sqrt{(p_1\cdot p_2)^2-m_1^2m_2^2}$ の三つの姿
  • CM 系の二体散乱公式 $\dd\sigma/\dd\Omega = S\abs{\mathcal{M}}^2\abs{\pp_f}/(64\pi^2 s\abs{\pp_i})$ の導出と，Mandelstam 変数による不変形 $\dd\sigma/\dd t$
  • 実験室系と CM 系の関係（角度変換とヤコビアン），固定標的と衝突型加速器の重心エネルギーの差
  • 自然単位系の換算表：$\mathrm{GeV^{-1}}\to\mathrm{fm}$，$\mathrm{GeV^{-1}}\to\mathrm{s}$，$\mathrm{GeV^{-2}}\to\mathrm{mb}$（ミリバーン），そして材料科学の単位（eV, Å, fs, cm$^{-1}$）との辞書
  • Breit–Wigner 共鳴の式，$\Gamma$ と $\tau$ の Fourier 変換による関係，$1/v$ 則の導出
  • 材料科学との接点：Matthiessen 則と分岐比，非調和フォノンの線幅，RBS の運動学因子と Rutherford 断面積，減衰振動子・スペクトル関数と Breit–Wigner，DT 核融合と第一壁照射損傷
前提：第4章の相対論的運動学（四元運動量，不変質量，CM 系），第8章のファインマン則と黄金律（本付録は第8章の公式を整理・拡張したものである），付録A の $\delta$ 関数と不変位相空間要素 $\dd^3p/[(2\pi)^3 2E]$．計量は $g^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$．自然単位系 $\hbar=c=1$ を主に使うが，B.3 節では $\hbar$ と $c$ を明示的に復活させる．材料科学との接点の節は『固体物理学入門』のフォノンと状態密度，『線形応答理論入門』第2章・第3章の減衰振動子を知っていると読みやすいが，知らなくても式は自己完結している．

B.1 崩壊 — 一般公式

B.1.1 崩壊率・寿命・分岐比

不安定粒子を $N(t)$ 個用意する．単位時間あたりに壊れる個数は，いま生きている個数に比例する．比例定数を $\Gamma$（崩壊率，decay rate）と書けば

$$ \begin{equation} \frac{\dd N}{\dd t} = -\frac{\Gamma}{\hbar}\,N \quad\Longrightarrow\quad N(t) = N(0)\,\ee^{-\Gamma t/\hbar} \label{eq:B-expdecay} \end{equation} $$

である．ここで $\Gamma$ をエネルギーの次元で測る流儀を採った（素粒子物理の標準）．このとき $\Gamma$ は粒子の幅（width）とも呼ばれ，B.4 節で見るように共鳴曲線の半値全幅そのものである．平均寿命は

$$ \begin{equation} \tau = \frac{\hbar}{\Gamma} \qquad\Big(\text{自然単位系 }\hbar=1\text{ では }\tau=1/\Gamma\Big) \label{eq:B-tau} \end{equation} $$

で与えられる．$\Gamma$ を MeV，$\tau$ を秒で測るなら，$\hbar=6.582\times10^{-22}\ \mathrm{MeV\,s}$ を使って $\tau[\mathrm{s}]=6.582\times10^{-22}/\Gamma[\mathrm{MeV}]$ である．

ひとつの粒子はふつう複数の壊れ方をもつ．たとえば $Z$ ボソンは $e^+e^-$，$\mu^+\mu^-$，$\nu\bar\nu$，$q\bar q$ …と壊れる．それぞれの壊れ方 $i$ に対する崩壊率を部分幅 $\Gamma_i$ と呼び，全幅はその和である．

$$ \begin{equation} \Gamma = \sum_i \Gamma_i, \qquad \mathrm{BR}_i \equiv \frac{\Gamma_i}{\Gamma} \qquad\left(\sum_i \mathrm{BR}_i = 1\right) \label{eq:B-br} \end{equation} $$

$\mathrm{BR}_i$ を分岐比（branching ratio）と呼ぶ．実験が測るのは，多くの場合「全寿命 $\tau$」と「分岐比 $\mathrm{BR}_i$」であり，理論と比べるべき量 $\Gamma_i=\mathrm{BR}_i\,\hbar/\tau$ はこの二つの積である．

材料科学との接点：分岐比は Matthiessen 則そのものである

式 \eqref{eq:B-br} の「全幅は部分幅の和」という関係は，素粒子に固有のものではない．金属中の電子の緩和時間 $\tau$ は，散乱機構ごとの緩和時間 $\tau_i$（不純物散乱，フォノン散乱，電子–電子散乱，粒界散乱…）を用いて

$$ \frac{1}{\tau} = \sum_i \frac{1}{\tau_i} $$

と書ける．これがMatthiessen 則である．$\Gamma=\hbar/\tau$，$\Gamma_i=\hbar/\tau_i$ と置き換えれば，これは式 \eqref{eq:B-br} の $\Gamma=\sum_i\Gamma_i$ と文字どおり同じ式である．どちらも「独立な終状態への遷移確率は足し算になる」という黄金律の性質から出ている．

さらに，分岐比 $\mathrm{BR}_i=\Gamma_i/\Gamma$ に対応する物性側の量は「全抵抗のうち機構 $i$ が担う割合」である．たとえば室温の銅で $\rho_\text{phonon}/\rho_\text{total}\simeq0.99$ ならば，これは「銅の電子は $99\%$ の分岐比でフォノンに崩壊する」と読める．$4\ \mathrm{K}$ に冷やすとフォノンの分岐比が落ちて不純物散乱の分岐比が $1$ に近づき，残留抵抗比 (RRR) が測れるようになる．

ただし一点だけ注意がある．Matthiessen 則が成り立つのは散乱機構どうしが干渉しないとき，すなわち振幅ではなく確率が足し算になるときだけである．素粒子側でも同じで，$Z\to e^+e^-$ と $Z\to\mu^+\mu^-$ は終状態が違うので確率が足し算になるが，同じ終状態 $\mu^+\mu^-$ に至る $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ の二つのダイアグラム（$s$ チャンネルの $\gamma$ 交換と $Z$ 交換．$Z$ の頂点は第12章 12.6.1 項）は振幅の段階で足す必要がある．どこで足すかを間違えると干渉項を落とす．

B.1.2 黄金律：崩壊の一般公式

第8章で導いた崩壊の一般公式を書き下す（$c=1$．$\hbar$ は $\Gamma$ をエネルギーで測るかぎり式には現れない）．質量 $m_1$ の粒子 1 が，その静止系で $n-1$ 個の粒子 $2,3,\dots,n$ に崩壊するとき，

$$ \begin{equation} \Gamma = \frac{S}{2 m_1}\int \abs{\mathcal{M}}^2\, (2\pi)^4\,\delta^4\!\Big(p_1-\sum_{j=2}^{n}p_j\Big)\, \prod_{j=2}^{n}\frac{\dd^3 p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} \label{eq:B-decay-general} \end{equation} $$

である．この $\Gamma$ は B.1.1 の定義どおりエネルギーの単位で出てくる（$\abs{\mathcal{M}}$，$\pp$，$m$ をエネルギー単位で測れば右辺の次元はエネルギーの一乗である）．崩壊率（$\mathrm{s^{-1}}$）が欲しければ $\Gamma/\hbar$，寿命は $\tau=\hbar/\Gamma$ とすればよい．文献によっては $\Gamma$ を最初から率と定義して右辺に $1/\hbar$ を付けているものがある（たとえば Griffiths）ので，$\hbar$ の付き方は $\Gamma$ の定義とセットで確認すること．右辺の各部品の意味を確認しておく．

定義：式 \eqref{eq:B-decay-general} の部品

数学ノート：$\mathcal{M}$ の質量次元

$\Gamma$ はエネルギーの次元 $[\mathrm{mass}]^1$ をもつ．式 \eqref{eq:B-decay-general} の右辺で，$\delta^4$ は $[\mathrm{mass}]^{-4}$，$\dd^3p/2E$ は各々 $[\mathrm{mass}]^{2}$，前置因子は $[\mathrm{mass}]^{-1}$．外線が全部で $N=n$ 本ある崩壊では終状態が $n-1$ 個なので

$$ 1 = -1 + 2(n-1) - 4 + 2\,[\mathcal{M}] \quad\Longrightarrow\quad [\mathcal{M}] = 4-n $$

すなわち外線の総本数を $N$ として $[\mathcal{M}]=4-N$ である．$1\to2$ なら $[\mathcal{M}]=1$（質量の次元），$1\to3$ と $2\to2$ なら $[\mathcal{M}]=0$（無次元），$2\to3$ なら $[\mathcal{M}]=-1$．計算の途中でこれを確認する習慣をつけると，因子の落としに気づける．

B.1.3 統計因子 $S$

定義：統計因子

終状態に同種の粒子が $j$ 個含まれる組がいくつかあるとき，各組について $1/j!$ を掛ける．

$$ \begin{equation} S = \prod_{\text{同種粒子の組}} \frac{1}{j!} \label{eq:B-S} \end{equation} $$

「同種」とは，量子数がすべて同じで区別のつかない粒子のことである．粒子と反粒子（$e^+$ と $e^-$）は区別できるので同種ではない．色が違うクォークも区別できる．

なぜ $1/j!$ が要るのか

式 \eqref{eq:B-decay-general} の積分は，終状態の各粒子の運動量 $\pp_2,\pp_3,\dots$ を独立に全空間にわたって走らせている．ところが終状態の 2 個が同種粒子なら，$(\pp_2,\pp_3)=(\bm{a},\bm{b})$ という配位と $(\bm{b},\bm{a})$ という配位は物理的に同一の終状態である．独立に積分するとこれを 2 回数えてしまう．$j$ 個の同種粒子なら $j!$ 回である．したがって $1/j!$ で割り戻す．

これは統計力学で，同種粒子からなる理想気体の分配関数に $1/N!$ を入れる（Gibbs のパラドックス）のとまったく同じ操作である．素粒子でも統計力学でも，「区別できないものを区別して数えたら，あとで割る」という一手間が要る．

なお $S$ は $\abs{\mathcal{M}}^2$ ではなく位相空間側の因子である．振幅 $\mathcal{M}$ の側では，同種粒子の入れ替えに対応するダイアグラム（交換図）をきちんと足し，フェルミオンなら相対符号 $(-1)$ を入れる．この二つは別の話なので混同しないこと．

表B.1 統計因子 $S$ の例
過程終状態の同種粒子$S$備考
$\pi^0\to\gamma\gamma$$\gamma$ が 2 個$1/2$光子は自分自身が反粒子
$Z\to e^+e^-$なし$1$$e^+$ と $e^-$ は区別できる
$K^0\to\pi^+\pi^-$なし$1$
$K^0\to\pi^0\pi^0$$\pi^0$ が 2 個$1/2$
$\eta\to\pi^0\pi^0\pi^0$$\pi^0$ が 3 個$1/6$$1/3!$
$\omega\to\pi^+\pi^-\pi^0$なし$1$3 個とも区別できる
$H\to gg$$g$ が 2 個$1/2$色の和は $\abs{\mathcal{M}}^2$ 側で行う
$e^-e^-\to e^-e^-$（Møller）$e^-$ が 2 個$1/2$交換図の干渉は $\mathcal{M}$ 側
$e^+e^-\to e^+e^-$（Bhabha）なし$1$
$e^+e^-\to\gamma\gamma$$\gamma$ が 2 個$1/2$
$pp\to pp\pi^0$$p$ が 2 個$1/2$

注意：$S$ を「振幅の対称化」と二重に数えない

教科書によっては $S$ を導入せず，代わりに「終状態の位相空間積分を非重複領域に制限する」流儀を採る．どちらでも答えは同じだが，両方やってはいけない．また，$\abs{\mathcal{M}}^2$ の計算で交換図を足したことと $S=1/2$ を掛けることは独立な操作であり，片方を理由にもう片方を省いてはならない．$e^-e^-\to e^-e^-$ では，直接図と交換図を足して二乗し（干渉項が出る），そのうえで $S=1/2$ を掛ける．

B.1.4 二体崩壊

実用上もっとも重要な場合である．$1\to2+3$ について，式 \eqref{eq:B-decay-general} の積分をすべて実行する．

導出1：二体崩壊率 $\Gamma = S\abs{\pp}\abs{\mathcal{M}}^2/(8\pi m_1^2)$

ステップ1：静止系に座る．粒子 1 の静止系で $p_1^\mu=(m_1,\bm{0})$ とする．式 \eqref{eq:B-decay-general} は

$$ \Gamma = \frac{S}{2m_1}\int \abs{\mathcal{M}}^2\,(2\pi)^4\, \delta^4(p_1-p_2-p_3)\, \frac{\dd^3p_2}{(2\pi)^3 2E_2}\frac{\dd^3p_3}{(2\pi)^3 2E_3} $$

ステップ2：$\delta^3$ で $\pp_3$ 積分を潰す．$\delta^4=\delta(m_1-E_2-E_3)\,\delta^3(\pp_2+\pp_3)$ と分解する．空間成分の $\delta^3$ は $\pp_3=-\pp_2$ を強制する．そこで $\pp\equiv\pp_2=-\pp_3$ と書けば，$\dd^3p_3$ の積分が消えて

$$ \Gamma = \frac{S}{2m_1}\cdot\frac{(2\pi)^4}{(2\pi)^6}\int \abs{\mathcal{M}}^2\,\delta(m_1-E_2-E_3)\,\frac{\dd^3p}{4E_2E_3} = \frac{S}{2m_1}\cdot\frac{1}{4\pi^2}\int \abs{\mathcal{M}}^2\,\delta(m_1-E_2-E_3)\,\frac{\dd^3p}{4E_2E_3} $$

$2\pi$ の冪だけ別に数えておくと安全である：分子に $(2\pi)^4$，分母に $(2\pi)^3$ が二つで合計 $(2\pi)^6$，差し引き $(2\pi)^{-2}=1/(4\pi^2)$ である．

ここで $E_2=\sqrt{\abs{\pp}^2+m_2^2}$，$E_3=\sqrt{\abs{\pp}^2+m_3^2}$ であり，どちらも $\abs{\pp}$ だけの関数である．

ステップ3：角度積分を分離する．$\dd^3p=\abs{\pp}^2\dd\abs{\pp}\,\dd\Omega$ と書く．$\abs{\mathcal{M}}^2$ は，崩壊する粒子が静止していて向きの基準がない（スピン平均をとった）場合には角度によらない．すると $\int\dd\Omega=4\pi$ が単純に出る．

$$ \Gamma = \frac{S}{2m_1}\cdot\frac{4\pi}{4\pi^2}\int_0^\infty \abs{\mathcal{M}}^2\,\delta(m_1-E_2-E_3)\,\frac{\abs{\pp}^2\,\dd\abs{\pp}}{4E_2E_3} $$

ステップ4：$\delta$ 関数で動径積分を潰す．付録A の合成関数則 $\delta(f(x))=\delta(x-x_0)/\abs{f'(x_0)}$ を使う．$f(\abs{\pp})=m_1-E_2-E_3$ の微分は

$$ \frac{\dd}{\dd\abs{\pp}}\big(E_2+E_3\big) = \frac{\abs{\pp}}{E_2}+\frac{\abs{\pp}}{E_3} = \abs{\pp}\,\frac{E_2+E_3}{E_2E_3} $$

である．零点 $\abs{\pp}$ ではエネルギー保存 $E_2+E_3=m_1$ が成り立つので，$\abs{f'}=\abs{\pp}\,m_1/(E_2E_3)$．したがって

$$ \int_0^\infty \delta(m_1-E_2-E_3)\,g(\abs{\pp})\,\dd\abs{\pp} = \frac{E_2E_3}{\abs{\pp}\,m_1}\;g(\abs{\pp}) $$

ステップ5：代入して整理する．$g(\abs{\pp})=\abs{\mathcal{M}}^2\abs{\pp}^2/(4E_2E_3)$ だから，

$$ \Gamma = \frac{S}{2m_1}\cdot\frac{1}{\pi}\cdot \abs{\mathcal{M}}^2\,\frac{\abs{\pp}^2}{4E_2E_3}\cdot\frac{E_2E_3}{\abs{\pp}\,m_1} = \frac{S}{2m_1}\cdot\frac{\abs{\mathcal{M}}^2\,\abs{\pp}}{4\pi m_1} $$

$E_2E_3$ がきれいに消えるのが気持ちよい．整理すれば

$$ \begin{equation} \Gamma_{1\to2+3} = \frac{S\,\abs{\pp}}{8\pi\, m_1^2}\,\abs{\mathcal{M}}^2 \label{eq:B-decay2} \end{equation} $$

$\blacksquare$ ここで $\abs{\pp}$ は終状態の粒子が静止系でもつ運動量の大きさであり，次項で $m_1,m_2,m_3$ から決まる．

注意：$2\pi$ の冪はまとめて数える

この種の計算でもっともつまずきやすいのは $2\pi$ の冪である．式 \eqref{eq:B-decay-general} には，$\delta^4$ の前に $(2\pi)^4$ が一つ，終状態粒子ごとに $(2\pi)^{-3}$ が一つずつ付いている．したがって終状態が $k$ 個なら，全体の $2\pi$ 因子は $(2\pi)^{4-3k}$ である．二体崩壊 $k=2$ なら $(2\pi)^{-2}$，三体崩壊 $k=3$ なら $(2\pi)^{-5}$，二体散乱 $k=2$ なら $(2\pi)^{-2}$．計算のはじめにこれだけ別の行に書き出しておき，最後にまとめて掛けるとよい．角度積分から出る $4\pi$ や $2\pi$ と混ぜて数えると，まず間違える．

Källén 関数による $\abs{\pp}$ の一般式

式 \eqref{eq:B-decay2} を使うには，静止系での終状態運動量 $\abs{\pp}$ を三つの質量から求めなければならない．これは純粋な運動学であり，答えは Källén 関数（Källén の $\lambda$ 関数，triangle function）で書ける．$\lambda(x,y,z)$ は，辺の長さが $\sqrt x,\sqrt y,\sqrt z$ の三角形の面積の $-16$ 倍の二乗に等しい（Heron の公式の別形）ので triangle function と呼ばれる．「三角関数」は $\sin,\cos$ の訳語なので，この呼び名は使わない．

導出2：$\abs{\pp} = \sqrt{\lambda(m_1^2,m_2^2,m_3^2)}\,/\,(2m_1)$

ステップ1：エネルギー保存を書く．静止系で $\abs{\pp_2}=\abs{\pp_3}=\abs{\pp}$ だから

$$ m_1 = \sqrt{\abs{\pp}^2+m_2^2} + \sqrt{\abs{\pp}^2+m_3^2} $$

ステップ2：片方を移項して二乗する．

$$ \left(m_1-\sqrt{\abs{\pp}^2+m_2^2}\right)^2 = \abs{\pp}^2+m_3^2 $$ $$ m_1^2 - 2m_1\sqrt{\abs{\pp}^2+m_2^2} + \abs{\pp}^2+m_2^2 = \abs{\pp}^2+m_3^2 $$

$\abs{\pp}^2$ が両辺で消えるのが要点である．

ステップ3：残った根号を孤立させて再び二乗する．

$$ 2m_1\sqrt{\abs{\pp}^2+m_2^2} = m_1^2+m_2^2-m_3^2 \quad\Longrightarrow\quad E_2 = \sqrt{\abs{\pp}^2+m_2^2} = \frac{m_1^2+m_2^2-m_3^2}{2m_1} $$

途中で，二体崩壊では終状態のエネルギーが完全に決まってしまう（連続分布をもたない）ことが分かる．これが「二体崩壊の $\gamma$ 線は単色である」という実験事実の根拠である．

ステップ4：$\abs{\pp}^2=E_2^2-m_2^2$ を計算する．

$$ \abs{\pp}^2 = \left(\frac{m_1^2+m_2^2-m_3^2}{2m_1}\right)^2 - m_2^2 = \frac{(m_1^2+m_2^2-m_3^2)^2 - 4m_1^2m_2^2}{4m_1^2} $$

ステップ5：分子を展開して対称形にする．$(m_1^2+m_2^2-m_3^2)^2$ を展開すると

$$ m_1^4+m_2^4+m_3^4+2m_1^2m_2^2-2m_1^2m_3^2-2m_2^2m_3^2 $$

であり，ここから $4m_1^2m_2^2$ を引けば

$$ m_1^4+m_2^4+m_3^4-2m_1^2m_2^2-2m_1^2m_3^2-2m_2^2m_3^2 \equiv \lambda(m_1^2,m_2^2,m_3^2) $$

という $m_1^2,m_2^2,m_3^2$ について完全に対称な式になる．$\blacksquare$

$$ \begin{equation} \abs{\pp} = \frac{\sqrt{\lambda(m_1^2,m_2^2,m_3^2)}}{2m_1}, \qquad \lambda(x,y,z) \equiv x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx \label{eq:B-kallen} \end{equation} $$

$\lambda$ は因数分解できる．$x=m_1^2$ などと戻して整理すると

$$ \begin{equation} \abs{\pp} = \frac{1}{2m_1}\sqrt{\Big[m_1^2-(m_2+m_3)^2\Big]\Big[m_1^2-(m_2-m_3)^2\Big]} \label{eq:B-pfac} \end{equation} $$

この形のほうが，数値を入れるときも，しきい値を読むときも便利である．

物理的意味：しきい値近傍のふるまい

式 \eqref{eq:B-pfac} の第一の括弧 $m_1^2-(m_2+m_3)^2$ は，$m_1\to m_2+m_3$ でゼロになる．すなわち崩壊がぎりぎり許される（しきい値）とき，終状態運動量はゼロになる．$m_1 = m_2+m_3+\epsilon$ と置いて $\epsilon\to0$ の展開をすると

$$ \abs{\pp} \simeq \sqrt{\frac{2m_2m_3}{m_2+m_3}\,\epsilon}\;\propto\;\sqrt{\epsilon} $$

すなわち $\abs{\pp}\propto\sqrt{\epsilon}$．したがって式 \eqref{eq:B-decay2} より $\Gamma\propto\sqrt{\epsilon}$ である（$\abs{\mathcal{M}}^2$ がしきい値で有限なら）．この平方根のふるまいは二体位相空間の普遍的な性質で，核物理の $S$ 波中性子放出でも，半導体のバンド端における状態密度 $D(E)\propto\sqrt{E-E_c}$ でも，同じ $\sqrt{\ }$ が同じ理由（自由粒子の三次元位相空間）で現れる．

逆に $m_1\gg m_2,m_3$ なら $\abs{\pp}\to m_1/2$ であり，$\Gamma\to S\abs{\mathcal{M}}^2/(16\pi m_1)$ となる．$\abs{\mathcal{M}}$ が質量によらない定数なら $\Gamma\propto1/m_1$ で，重い粒子ほど長生きすることになる．しかし実際には $[\mathcal{M}]=1$（次元は質量）なので $\abs{\mathcal{M}}\propto m_1$ となることが多く，その場合は $\Gamma\propto m_1$，すなわち重い粒子ほど速く壊れる．$Z$ ボソン（$91\ \mathrm{GeV}$，$\tau\sim10^{-25}\ \mathrm{s}$）と $\pi^\pm$（$0.14\ \mathrm{GeV}$，$\tau\sim10^{-8}\ \mathrm{s}$）の $17$ 桁の差の大半は，この次元勘定と結合定数の差で説明できる．

(a) 静止系での二体崩壊：背中合わせ 1 静止：p₁ = (m₁, 0) 2 +p 3 −p E₂ + E₃ = m₁ ， p₂ + p₃ = 0 E₂ = (m₁² + m₂² − m₃²)/(2m₁) ：単色 |p| = √λ(m₁², m₂², m₃²) / (2m₁) 終状態のエネルギーは質量だけで決まり， 連続分布をもたない（三体崩壊との決定的な違い）． 例：π⁰ → γγ では Eγ = m/2 = 67.5 MeV 　　π⁺ → μ⁺ν では |p| = 29.79 MeV (b) 運動量空間：δ 関数が球殻を切り出す |p| δ(m₁ − E₂ − E₃) が半径 |p| の球殻 だけを残す p₂ 空間 ∫d³p δ(…) = 4π|p|² × (E₂E₃)/(|p| m₁) = 4π|p| E₂E₃/m₁ → 角度 4π と動径 δ から |p| が一つだけ残る．
図B.1　二体崩壊の運動学と位相空間．(a) 親粒子の静止系では，二つの娘粒子は必ず背中合わせに，等しい大きさの運動量 $\abs{\pp}$ をもって出る．エネルギーは質量だけで決まるので単色である．(b) $\pp_2$ 空間で見ると，エネルギー保存の $\delta$ 関数は半径 $\abs{\pp}$ の球殻だけを切り出す．角度積分から $4\pi$，動径の $\delta$ から $E_2E_3/(\abs{\pp}m_1)$ が出て，最終的に式 \eqref{eq:B-decay2} の $\abs{\pp}$ 一つが残る．

材料科学との接点：非調和フォノンの線幅は「フォノンの二体崩壊」である

結晶中のフォノンは，調和近似の範囲では永久に生き続ける固有モードである．ところが原子間ポテンシャルの三次項（三次の力定数 $\Phi_{\lambda\lambda'\lambda''}$）を入れると，一つのフォノン $\lambda$ が二つのフォノン $\lambda',\lambda''$ に崩壊する．これは文字どおり $1\to2$ の崩壊であり，崩壊率は黄金律で書ける．摂動論の最低次では

$$ \Gamma_\lambda \;\propto\; \sum_{\lambda'\lambda''}\abs{\Phi_{\lambda\lambda'\lambda''}}^2 \Big[(n_{\lambda'}+n_{\lambda''}+1)\,\delta(\omega_\lambda-\omega_{\lambda'}-\omega_{\lambda''}) + 2(n_{\lambda'}-n_{\lambda''})\,\delta(\omega_\lambda+\omega_{\lambda'}-\omega_{\lambda''})\Big] $$

という形になる（前置係数は文献の規約による．$n_\lambda$ は Bose 分布 $[\ee^{\hbar\omega_\lambda/k_BT}-1]^{-1}$）．式 \eqref{eq:B-decay-general} と見比べてほしい．$\abs{\Phi}^2$ が $\abs{\mathcal{M}}^2$，$\delta(\omega-\omega'-\omega'')$ がエネルギー保存の $\delta$，$\sum_{\lambda'\lambda''}$（結晶運動量保存 $\qq=\qq'+\qq''+\bm{G}$ の制約つき）が位相空間積分である．違いは二つだけ：(i) 真空ではなく熱浴の中なので Bose 因子 $(n'+n''+1)$ と $(n'-n'')$ が付く，(ii) 連続並進不変性ではなく離散並進不変性なので運動量保存に逆格子ベクトル $\bm{G}$ が入りうる（Umklapp 過程）．

第一項は「$\lambda$ が $\lambda'$ と $\lambda''$ に分裂する」過程で，$T\to0$ でも $(0+0+1)=1$ が残る．これがゼロ点崩壊であり，絶対零度でもフォノン線幅がゼロにならない理由である．素粒子側で「真空中でも $Z$ は崩壊する」のとまったく同じ事情である．第二項は「$\lambda$ が $\lambda'$ を吸って $\lambda''$ になる」合体過程で，$T\to0$ で $n'-n''\to0$ となって消える．

実験との接続も式 \eqref{eq:B-tau} と同じである．Raman スペクトルや非弾性中性子散乱で測ったフォノンピークの半値全幅を $\Gamma$（エネルギー単位）とすれば，フォノン寿命は $\tau=\hbar/\Gamma$ である．たとえば $\Gamma=3\ \mathrm{cm^{-1}}=0.372\ \mathrm{meV}$ なら $\tau=\hbar/\Gamma=1.8\ \mathrm{ps}$（B.6 節の演習B.6）．ここで一つ実務的な注意がある．本付録の $\Gamma$ は一貫して半値全幅（FWHM）であって $\tau=\hbar/\Gamma$ だが，第一原理フォノン計算コード（ALAMODE，phono3py など）が出力する線幅 $\Gamma_\lambda$ は自己エネルギーの虚部，すなわち半値半幅（HWHM）で定義されていることが多く，その場合の寿命は $\tau=\hbar/(2\Gamma_\lambda)$ である．どちらの定義かを確認せずに代入すると寿命を 2 倍間違える．この寿命と群速度の積が平均自由行程であり，格子熱伝導率 $\kappa=\frac{1}{3}\sum_\lambda C_\lambda v_\lambda^2\tau_\lambda$ に直結する．熱電材料の低熱伝導率を第一原理で設計する作業は，フォノンの「崩壊率」を計算する作業である．素粒子物理の付録Bの公式が，そのまま熱電変換材料の設計式になっている．

B.1.5 三体崩壊と Dalitz プロット

$1\to2+3+4$ の三体崩壊では，終状態の運動量は運動学だけでは決まらない．エネルギー・運動量保存は 4 本の条件だが，終状態の運動量は $3\times3=9$ 個の成分をもつ．差し引き 5 個の自由度が残り，そのうち 3 個は全体の向き（Euler 角）なので，物理的に意味のある自由度は 2 個である．この 2 個をどう選ぶかが Dalitz の工夫であった．

定義：不変質量二乗の変数

娘粒子を $2,3,4$ とし，二つずつの組の不変質量二乗を

$$ m_{23}^2 \equiv (p_2+p_3)^2,\qquad m_{34}^2 \equiv (p_3+p_4)^2,\qquad m_{24}^2 \equiv (p_2+p_4)^2 $$

と定義する．これらは Lorentz 不変であり，しかも独立ではない：

$$ m_{23}^2+m_{34}^2+m_{24}^2 = m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2 $$

（証明：$(p_2+p_3)^2+(p_3+p_4)^2+(p_2+p_4)^2 = 2(p_2^2+p_3^2+p_4^2)+2(p_2\cdot p_3+p_3\cdot p_4+p_2\cdot p_4)$ であり，一方 $m_1^2=(p_2+p_3+p_4)^2 = p_2^2+p_3^2+p_4^2+2(p_2\cdot p_3+p_3\cdot p_4+p_2\cdot p_4)$．二つを引き算すればよい．）したがって独立なのは 2 個で，これが上で数えた 2 自由度に対応する．

導出3：三体位相空間は $\dd m_{23}^2\,\dd m_{34}^2$ について平坦である

ステップ0：記号．不変位相空間要素を

$$ \dd\Phi_n(P;p_2,\dots) \equiv (2\pi)^4\delta^4\!\Big(P-\sum p_j\Big)\prod_j\frac{\dd^3p_j}{(2\pi)^3 2E_j} $$

と書く．導出1で得た結果は，$\sqrt{s}$ の静止系で

$$ \begin{equation} \dd\Phi_2 = \frac{1}{16\pi^2}\,\frac{\abs{\pp^*}}{\sqrt{s}}\,\dd\Omega^*, \qquad \Phi_2 = \frac{\abs{\pp^*}}{4\pi\sqrt{s}} \label{eq:B-phi2} \end{equation} $$

と書ける（$\abs{\pp^*}$ は式 \eqref{eq:B-kallen} で与えられる二体の運動量）．

ステップ1：位相空間を再帰的に分解する．$q\equiv p_2+p_3$ とおき，$q^2=m_{23}^2$ を新しい積分変数として導入する．恒等式

$$ 1 = \int \dd m_{23}^2\;\delta(q^2-m_{23}^2) = \int \frac{\dd m_{23}^2}{2\pi}\;(2\pi)\delta(q^2-m_{23}^2) $$

を挿入し，付録A の質量殻公式を使うと，$3$ 体の位相空間は「$1\to(23)+4$ の二体」と「$(23)\to2+3$ の二体」の積に分解できる：

$$ \dd\Phi_3(p_1;p_2,p_3,p_4) = \dd\Phi_2(p_1;q,p_4)\;\frac{\dd m_{23}^2}{2\pi}\;\dd\Phi_2(q;p_2,p_3) $$

これは「まず親が仮想的な質量 $m_{23}$ の粒子と $4$ に崩壊し，つぎにその仮想粒子が $2$ と $3$ に崩壊する」という二段階の読み方に対応する．

ステップ2：それぞれに式 \eqref{eq:B-phi2} を代入する．親の静止系で $(23)$ 系と $4$ が背中合わせに出るときの運動量を $\abs{\pp_4^*}$，$(23)$ の静止系で $2$ と $3$ が背中合わせに出るときの運動量を $\abs{\pp_2^{**}}$ とすれば

$$ \dd\Phi_3 = \frac{1}{16\pi^2}\frac{\abs{\pp_4^*}}{m_1}\dd\Omega_4^* \;\cdot\;\frac{\dd m_{23}^2}{2\pi}\;\cdot\; \frac{1}{16\pi^2}\frac{\abs{\pp_2^{**}}}{m_{23}}\dd\Omega_2^{**} $$

ステップ3：意味のない角度を積分する．$\dd\Omega_4^*$ は系全体の向きなので $\int\dd\Omega_4^*=4\pi$．$\dd\Omega_2^{**}$ のうち方位角も物理に効かないので $\int\dd\varphi=2\pi$．残るのは $\dd\cos\theta^{**}$ 一つ．

$$ \dd\Phi_3 = \frac{4\pi\cdot2\pi}{(2\pi)(16\pi^2)^2}\, \frac{\abs{\pp_4^*}\,\abs{\pp_2^{**}}}{m_1\,m_{23}}\;\dd m_{23}^2\,\dd\cos\theta^{**} = \frac{1}{64\pi^3}\, \frac{\abs{\pp_4^*}\,\abs{\pp_2^{**}}}{m_1\,m_{23}}\;\dd m_{23}^2\,\dd\cos\theta^{**} $$

（係数の確認：$8\pi^2/[(2\pi)\cdot256\pi^4]=8\pi^2/(512\pi^5)=1/(64\pi^3)$．）

ステップ4：$\cos\theta^{**}$ を $m_{34}^2$ に取り替える．$(23)$ の静止系では $\pp_3^{**}=-\pp_2^{**}$ である．粒子 $4$ の運動量を $\pp_4^{**}$，$\pp_2^{**}$ との角を $\theta^{**}$ とすると

$$ m_{34}^2 = (p_3+p_4)^2 = m_3^2+m_4^2+2\big(E_3^{**}E_4^{**} + \abs{\pp_2^{**}}\abs{\pp_4^{**}}\cos\theta^{**}\big) $$

（$\pp_3^{**}\cdot\pp_4^{**} = -\pp_2^{**}\cdot\pp_4^{**} = -\abs{\pp_2^{**}}\abs{\pp_4^{**}}\cos\theta^{**}$ を使った）．したがって

$$ \dd m_{34}^2 = 2\,\abs{\pp_2^{**}}\,\abs{\pp_4^{**}}\,\dd\cos\theta^{**} $$

ステップ5：$\abs{\pp_4^{**}}$ と $\abs{\pp_4^{*}}$ を結ぶ．どちらも同じ $\lambda(m_1^2,m_{23}^2,m_4^2)$ から作られ，分母だけが違う：

$$ \abs{\pp_4^{*}} = \frac{\sqrt{\lambda(m_1^2,m_{23}^2,m_4^2)}}{2m_1}, \qquad \abs{\pp_4^{**}} = \frac{\sqrt{\lambda(m_1^2,m_{23}^2,m_4^2)}}{2m_{23}} \quad\Longrightarrow\quad \abs{\pp_4^{**}} = \frac{m_1}{m_{23}}\abs{\pp_4^{*}} $$

（前者は親の静止系で $(23)$ と $4$ が背中合わせに出るとき，後者は $(23)$ の静止系で親と $4$ の運動学を見たときの値である．）

ステップ6：すべて代入する．

$$ \dd\Phi_3 = \frac{1}{64\pi^3}\frac{\abs{\pp_4^*}\abs{\pp_2^{**}}}{m_1 m_{23}} \cdot\frac{\dd m_{23}^2\,\dd m_{34}^2}{2\abs{\pp_2^{**}}\abs{\pp_4^{**}}} = \frac{1}{128\pi^3}\frac{\abs{\pp_4^*}}{m_1 m_{23}} \cdot\frac{m_{23}}{m_1\abs{\pp_4^{*}}}\,\dd m_{23}^2\,\dd m_{34}^2 = \frac{\dd m_{23}^2\,\dd m_{34}^2}{128\pi^3\,m_1^2} $$

$\abs{\pp_2^{**}}$ も $\abs{\pp_4^{*}}$ も $m_{23}$ も，すべてきれいに消えた．$\blacksquare$

したがって $\dd\Gamma = (S/2m_1)\abs{\mathcal{M}}^2\dd\Phi_3$ より

$$ \begin{equation} \frac{\dd\Gamma}{\dd m_{23}^2\,\dd m_{34}^2} = \frac{S\,\abs{\mathcal{M}}^2}{256\pi^3\,m_1^3} = \frac{S\,\abs{\mathcal{M}}^2}{32(2\pi)^3\,m_1^3} \label{eq:B-dalitz} \end{equation} $$

物理的意味：だから Dalitz プロットが有効なのである

式 \eqref{eq:B-dalitz} の右辺には，$m_{23}^2$ にも $m_{34}^2$ にも依存する因子が $\abs{\mathcal{M}}^2$ しかない．したがって：

これが Dalitz プロットの威力である．たとえば $(23)$ 系に質量 $M_R$ の共鳴があれば，$m_{23}^2\simeq M_R^2$ の位置に縦（あるいは横）の帯が現れる．その帯の幅から共鳴の幅 $\Gamma_R$ が読め，帯に沿った強度分布から共鳴のスピンが読める（角度分布が Legendre 多項式の形になる）．散乱実験で共鳴を探すのと同じことを，崩壊事象だけを使ってできる．

Dalitz がこの図を発明したのは 1953 年で，目的は $\tau\to3\pi$ と $\theta\to2\pi$ が同じ粒子か否かを判定することであった（第6章の $\tau$–$\theta$ パズル）．一様分布からのずれを見ることで $3\pi$ 系のパリティが決定でき，最終的に弱い相互作用のパリティ非保存の発見につながった．現在も $D$ 中間子や $B$ 中間子の崩壊で CP 対称性の破れを測る主力の道具である．

定理：Dalitz プロットの境界

$m_{23}^2$ を固定したとき，$m_{34}^2$ の取りうる範囲は次で与えられる．$(23)$ の静止系での粒子 3 と粒子 4 のエネルギーを

$$ E_3^{**} = \frac{m_{23}^2-m_2^2+m_3^2}{2m_{23}}, \qquad E_4^{**} = \frac{m_1^2-m_{23}^2-m_4^2}{2m_{23}} $$

とすると

$$ \begin{equation} \big(m_{34}^2\big)_{\max/\min} = \big(E_3^{**}+E_4^{**}\big)^2 -\left(\sqrt{E_3^{**2}-m_3^2}\;\mp\;\sqrt{E_4^{**2}-m_4^2}\right)^2 \label{eq:B-dalitz-bound} \end{equation} $$

である（上側が $\max$，下側が $\min$）．$m_{23}^2$ 自身の範囲は $(m_2+m_3)^2 \le m_{23}^2 \le (m_1-m_4)^2$．

導出は簡単で，$m_{34}^2 = (p_3+p_4)^2$ を $(23)$ 系で書けば $\cos\theta^{**}=\pm1$ が両極端を与えることによる．$\cos\theta^{**}=+1$（粒子 2 と粒子 4 が同じ向き，すなわち粒子 3 と粒子 4 は逆向き）なら空間運動量が引き算されて $m_{34}^2$ は最大，$\cos\theta^{**}=-1$（粒子 3 と粒子 4 が同じ向き）なら最小である．

(a) Dalitz プロット．m₁=1.00，m₂=m₃=m₄=0.14 の例で，横軸 m₂₃²，縦軸 m₃₄² の平面に，本文の境界の式が与える閉曲線の内側（許される領域）を青緑で示し，一様に分布する事象を青点で，m₂₃²=M_R² の共鳴の帯を赤で示す．(b) 質量ゼロ極限では領域が m₂₃²+m₃₄²≤m₁² の直角二等辺三角形（面積 m₁⁴/2，Φ₃=m₁²/(256π³)）になる．
図B.2　Dalitz プロット．(a) 有質量の娘粒子の場合，許される領域は式 \eqref{eq:B-dalitz-bound} が与える閉曲線の内側である．式 \eqref{eq:B-dalitz} が示すとおり，$\abs{\mathcal{M}}^2$ が定数なら事象は領域内に一様に分布する（青点）．$(23)$ 系に共鳴があると，$m_{23}^2=M_R^2$ に縦の帯（赤）が現れる．(b) 娘粒子の質量をすべてゼロにすると境界は直線になり，領域は $m_{23}^2+m_{34}^2\le m_1^2$ の直角三角形（面積 $m_1^4/2$）に退化する．時間方向はこの図には現れない（すべて不変量で描かれている）．

例：質量ゼロ極限での三体位相空間の検算

娘粒子がすべて質量ゼロなら $m_{23}^2+m_{34}^2+m_{24}^2=m_1^2$ かつ各々 $\ge0$ なので，Dalitz 領域は図B.2(b) の直角三角形，その面積は $m_1^4/2$ である．式 \eqref{eq:B-dalitz} の位相空間部分を積分すると

$$ \Phi_3 = \frac{1}{128\pi^3 m_1^2}\cdot\frac{m_1^4}{2} = \frac{m_1^2}{256\pi^3} $$

これは，質量ゼロ $n$ 体位相空間の一般公式

$$ \Phi_n = \frac{1}{2}\,\frac{1}{(4\pi)^{2n-3}}\,\frac{(m_1^2)^{n-2}}{(n-1)!\,(n-2)!} $$

で $n=3$ とした値と一致する（$n=2$ とすれば $\Phi_2=1/(8\pi)$ で，これも式 \eqref{eq:B-phi2} に $\abs{\pp^*}=\sqrt{s}/2$ を入れた値と一致する）．係数を落としていないことの，安上がりで確実な検算である．

また，$\abs{\mathcal{M}}^2$ が定数の三体崩壊率は $\Gamma = S\abs{\mathcal{M}}^2 m_1/(512\pi^3)$ となる．$[\mathcal{M}]=0$（B.1.2 の次元則で $N=4$）なので，右辺の次元は確かに質量の一乗である．

B.2 断面積 — 一般公式

B.2.1 断面積とルミノシティ

定義：断面積

密度 $n_1$，速度 $v$ のビームが，面密度 $N_2/A$ の標的に当たっているとする．単位時間あたりに起きる反応の数を $R$ とすると，断面積 $\sigma$ は

$$ \begin{equation} R = \underbrace{(n_1 v)}_{\text{入射フラックス}}\times N_2 \times \sigma \label{eq:B-sigma-def} \end{equation} $$

で定義される．$\sigma$ は面積の次元をもち，「標的粒子 1 個が，入射粒子に対して差し出している実効的な的の面積」と読める．単位は

$$ 1\ \mathrm{barn} \equiv 10^{-28}\ \mathrm{m^2} = 10^{-24}\ \mathrm{cm^2} = 100\ \mathrm{fm^2} $$

である（$1\ \mathrm{mb}=10^{-3}\ \mathrm{b}$，$1\ \mu\mathrm{b}=10^{-6}\ \mathrm{b}$，$1\ \mathrm{nb}=10^{-9}\ \mathrm{b}$，$1\ \mathrm{pb}=10^{-12}\ \mathrm{b}$）．$1\ \mathrm{barn}$ はウラン原子核の幾何学的断面積とほぼ同じで，核物理の実験家が「納屋（barn）の壁のように当てやすい」と言ったのが名前の由来である．

衝突型加速器では，ビームどうしをぶつけるので式 \eqref{eq:B-sigma-def} の「フラックス × 標的数」をまとめてルミノシティ $\mathcal{L}$（次元は $[\text{面積}]^{-1}[\text{時間}]^{-1}$）と呼ぶ：

$$ \begin{equation} R = \mathcal{L}\,\sigma, \qquad N_\text{events} = \sigma\int\mathcal{L}\,\dd t \equiv \sigma\,L_\text{int} \label{eq:B-lumi} \end{equation} $$

LHC の設計ルミノシティは $\mathcal{L}=10^{34}\ \mathrm{cm^{-2}s^{-1}}$ である．積分ルミノシティ $L_\text{int}$ は $\mathrm{fb^{-1}}$（逆フェムトバーン）で測るのが習慣で，$1\ \mathrm{fb^{-1}}$ の下では断面積 $1\ \mathrm{fb}$ の過程が平均して 1 回起きる（式 \eqref{eq:B-lumi} の $N_\text{events}$ は期待値であり，実際の回数は Poisson 分布する）．

B.2.2 一般公式とフラックス因子

第8章で導いた散乱の一般公式は，$1+2\to3+4+\cdots+n$ に対して

$$ \begin{equation} \sigma = \frac{S\,\hbar^2c^2}{4\sqrt{(p_1\cdot p_2)^2-(m_1m_2)^2}} \int \abs{\mathcal{M}}^2\,(2\pi)^4\,\delta^4\!\Big(p_1+p_2-\sum_{j=3}^n p_j\Big) \prod_{j=3}^{n}\frac{\dd^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} \label{eq:B-scatt-general} \end{equation} $$

である．崩壊の式 \eqref{eq:B-decay-general} との違いは，前の因子が $1/(2m_1)$ から $1/(4\sqrt{(p_1\cdot p_2)^2-(m_1m_2)^2})$ に変わっただけである．これをフラックス因子と呼ぶ．なお $\hbar^2c^2$ は，$\sigma$ を面積の単位で出すために付けた（自然単位系では $1$）．

導出4：フラックス因子の三つの姿

$F \equiv 4\sqrt{(p_1\cdot p_2)^2-(m_1m_2)^2}$ とおく．これはスカラー積だけで書かれているので Lorentz 不変である．

(i) CM 系． $p_1=(E_1,\pp_i)$，$p_2=(E_2,-\pp_i)$ とすると $p_1\cdot p_2 = E_1E_2+\abs{\pp_i}^2$ だから

$$ (p_1\cdot p_2)^2-m_1^2m_2^2 = (E_1E_2+\abs{\pp_i}^2)^2 - (E_1^2-\abs{\pp_i}^2)(E_2^2-\abs{\pp_i}^2) $$

展開すると $E_1^2E_2^2$ が消え合い，$\abs{\pp_i}^4$ も消え合って

$$ = 2E_1E_2\abs{\pp_i}^2 + E_1^2\abs{\pp_i}^2+E_2^2\abs{\pp_i}^2 = \abs{\pp_i}^2(E_1+E_2)^2 = \abs{\pp_i}^2\,s $$

したがって

$$ \begin{equation} F_\text{CM} = 4\,\abs{\pp_i}\sqrt{s} \label{eq:B-flux-cm} \end{equation} $$

(ii) 実験室系（固定標的）． $p_2=(m_2,\bm{0})$ とすると $p_1\cdot p_2 = E_1^\text{lab}m_2$ であり

$$ (E_1^\text{lab}m_2)^2 - m_1^2m_2^2 = m_2^2\big(E_1^{\text{lab}2}-m_1^2\big) = m_2^2\abs{\pp_1^\text{lab}}^2 $$ $$ \begin{equation} F_\text{lab} = 4\,m_2\,\abs{\pp_1^\text{lab}} \label{eq:B-flux-lab} \end{equation} $$

(iii) 同一直線上の衝突（任意のエネルギーで厳密）． 二粒子が同じ直線上を運動する場合，運動量の符号付き成分を $q_1,q_2$ として $p_1\cdot p_2=E_1E_2-q_1q_2$ だから

$$ (p_1\cdot p_2)^2-m_1^2m_2^2 = (E_1q_2-E_2q_1)^2 = E_1^2E_2^2\,(v_1-v_2)^2 \quad\Longrightarrow\quad F = 4E_1E_2\,\abs{\vv_1-\vv_2} $$

である．これは近似ではなく恒等式であり，(i) の CM 系（$4E_1E_2(\abs{\pp_i}/E_1+\abs{\pp_i}/E_2)=4\abs{\pp_i}\sqrt{s}$）も (ii) の固定標的（$4E_1m_2\cdot\abs{\pp_1^\text{lab}}/E_1=4m_2\abs{\pp_1^\text{lab}}$）も，この形の特別な場合として再現される．非相対論的極限ではさらに $E_i\to m_i$ として $F\simeq4m_1m_2\abs{\vv_1-\vv_2}$ となる．これが「フラックス因子」という名の由来である：$4E_1E_2$ は二粒子の相対論的規格化，$\abs{\vv_1-\vv_2}$ が速度の因子である．式 \eqref{eq:B-sigma-def} の「$n_1v$」がここに入っている．$\blacksquare$

注意：$\abs{\vv_1-\vv_2}$ は「相対速度」ではない

導出4(iii) の $\abs{\vv_1-\vv_2}$ は，二つの速度ベクトルの差の大きさであって，相対論的な相対速度（一方の静止系で見た他方の速度）ではない．正面衝突で両者が光速に近いと $\abs{\vv_1-\vv_2}\to2c$ となり，「光速の 2 倍」という一見おかしな値が出る．しかしこれは相対速度ではなく，単に「二つのビームがすれ違う速さ」なので，$c$ を超えても矛盾しない．ただし $F=4E_1E_2\abs{\vv_1-\vv_2}$ が成り立つのは二粒子が同一直線上を運動する場合（衝突型加速器の正面衝突と固定標的はどちらもこれに当たる）であって，そのかぎりではエネルギーの大小によらず厳密である．二つの運動量が同一直線上にない一般の配置では，この形は不変量と一致しないので，式 \eqref{eq:B-scatt-general} の不変な $F$ の定義に戻る必要がある．

材料科学との接点：マクロ断面積・平均自由行程・Beer–Lambert 則

式 \eqref{eq:B-sigma-def} は，材料側では次のように使われる．数密度 $n$ の標的物質にビームを入れると，厚さ $\dd x$ を通る間に強度は

$$ \dd I = -I\,n\sigma\,\dd x \quad\Longrightarrow\quad I(x) = I_0\,\ee^{-x/\lambda}, \qquad \lambda = \frac{1}{n\sigma}, \qquad \Sigma \equiv n\sigma $$

と減衰する．$\Sigma$ をマクロ断面積（単位 $\mathrm{cm^{-1}}$），$\lambda$ を平均自由行程と呼ぶ．この指数減衰は，形の上では式 \eqref{eq:B-expdecay} の崩壊則とまったく同じで，$x$ と $ct$，$\lambda$ と $c\tau$ が対応する．

これは中性子遮蔽（B.5 節の $\mathrm{B_4C}$ の例），X 線の吸収係数 $\mu=n\sigma$，電子顕微鏡の非弾性平均自由行程（EELS の $t/\lambda$ 法で試料厚さを測る），XPS の光電子脱出深さ，すべてに共通する枠組みである．素粒子物理で「断面積 $\sigma$」と呼ぶ量を，材料分析では「吸収係数 $\mu$」「散乱長 $b$」「原子散乱因子 $f$」など違う名前で呼んでいるだけで，中身は同じ $\sigma$ である．

ひとつ実務的な注意．中性子散乱の教科書に出てくる「散乱長 $b$」は断面積の平方根の次元をもち，$\sigma=4\pi b^2$（等方散乱の場合）で結ばれる．$b$ は振幅 $\mathcal{M}$ に相当する量であり，$\sigma$ は $\abs{\mathcal{M}}^2$ に相当する量である．コヒーレント散乱では $b$ を（振幅の段階で）足してから二乗し，インコヒーレント散乱では $\abs{b}^2$ を足す．B.1.1 項の「どこで足すか」という注意が，ここでもそのまま効いている．

B.2.3 二体散乱：CM 系の公式

導出5：$\dd\sigma/\dd\Omega\big|_\text{CM} = S\abs{\mathcal{M}}^2\abs{\pp_f}/(64\pi^2 s\abs{\pp_i})$

ステップ1：終状態の位相空間は二体崩壊とまったく同じ形である．式 \eqref{eq:B-scatt-general} で $n=4$（終状態 2 個）とすると，積分部分は導出1のステップ2〜4と同一の計算になる．違いは「親の質量 $m_1$」が「重心エネルギー $\sqrt{s}$」に置き換わることだけである．導出1のステップ3の直前で角度積分を実行せずに止めれば

$$ \int(2\pi)^4\delta^4(P-p_3-p_4)\frac{\dd^3p_3}{(2\pi)^32E_3}\frac{\dd^3p_4}{(2\pi)^32E_4} \;\longrightarrow\; \dd\Phi_2 = \frac{1}{16\pi^2}\,\frac{\abs{\pp_f}}{\sqrt{s}}\,\dd\Omega $$

である（式 \eqref{eq:B-phi2}）．ここで $\abs{\pp_f}$ は終状態粒子の CM 系での運動量の大きさ．

ステップ2：フラックス因子を入れる．式 \eqref{eq:B-flux-cm} より $F_\text{CM}=4\abs{\pp_i}\sqrt{s}$ だから

$$ \dd\sigma = \frac{S}{4\abs{\pp_i}\sqrt{s}}\;\abs{\mathcal{M}}^2\; \frac{1}{16\pi^2}\frac{\abs{\pp_f}}{\sqrt{s}}\,\dd\Omega $$

ステップ3：整理する．$\sqrt{s}\cdot\sqrt{s}=s$ を使って

$$ \begin{equation} \frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}\bigg|_\text{CM} = \frac{S\,\abs{\mathcal{M}}^2}{64\pi^2\,s}\,\frac{\abs{\pp_f}}{\abs{\pp_i}} \qquad \left(\text{SI に戻すなら右辺に }(\hbar c)^2\right) \label{eq:B-dsigma-cm} \end{equation} $$

$\blacksquare$ 弾性散乱（$m_3=m_1$, $m_4=m_2$）なら $\abs{\pp_f}=\abs{\pp_i}$ となり，比の因子は $1$ である．

$\abs{\pp_i}$ と $\abs{\pp_f}$ はどちらも Källén 関数で与えられる：

$$ \abs{\pp_i} = \frac{\sqrt{\lambda(s,m_1^2,m_2^2)}}{2\sqrt{s}}, \qquad \abs{\pp_f} = \frac{\sqrt{\lambda(s,m_3^2,m_4^2)}}{2\sqrt{s}} $$

物理的意味：$1/s$ という高エネルギーでの普遍的な落ち方

式 \eqref{eq:B-dsigma-cm} の前に $1/s$ がある．高エネルギーで $\abs{\mathcal{M}}^2$ が定数に近づく過程（$2\to2$ では $[\mathcal{M}]=0$ なので，結合定数だけで書ける場合がこれにあたる）では，断面積は

$$ \sigma \sim \frac{\alpha^2}{s} $$

と落ちる．$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ の $\sigma=4\pi\alpha^2/(3s)$（B.5 節）がその典型である．一方，$t$ チャンネルで質量ゼロの粒子（光子・グルーオン）を交換する過程では $\abs{\mathcal{M}}^2\propto1/t^2$ となり，前方（$t\to0$）で断面積が発散する．これが Rutherford 散乱の $1/\sin^4(\theta/2)$ であり，遮蔽がなければ全断面積が無限大になる理由である．物質中では遮蔽（Thomas–Fermi 遮蔽長 $\lambda_\text{TF}$）が働いて $1/(t-\lambda_\text{TF}^{-2})^2$ となり，発散が止まる．素粒子側で光子に質量を与えると発散が止まるのと，静的な遮蔽に限れば同じ数学である（付録A A.6 節）．

B.2.4 Mandelstam 変数による不変形

定義：Mandelstam 変数

$1+2\to3+4$ に対し

$$ \begin{equation} s \equiv (p_1+p_2)^2,\qquad t \equiv (p_1-p_3)^2,\qquad u \equiv (p_1-p_4)^2 \label{eq:B-stu} \end{equation} $$

と定義する．すべて Lorentz 不変である．$s$ は重心エネルギーの二乗，$t$ は運動量移行の二乗（$t\le0$），$u$ は「交差した」運動量移行である．三者は独立ではなく

$$ \begin{equation} s+t+u = m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2 \label{eq:B-stu-sum} \end{equation} $$

を満たす．（証明：$s+t+u$ を展開すると $3p_1^2+p_2^2+p_3^2+p_4^2+2p_1\cdot(p_2-p_3-p_4)$．運動量保存 $p_2-p_3-p_4=-p_1$ を代入すれば $3m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2-2m_1^2$ となる．）

CM 系で $t$ を書き下す．$p_1=(E_1,\pp_i)$，$p_3=(E_3,\pp_f)$，散乱角を $\theta$ とすると

$$ \begin{equation} t = m_1^2+m_3^2-2E_1E_3+2\abs{\pp_i}\abs{\pp_f}\cos\theta \label{eq:B-t-cm} \end{equation} $$

したがって $\dd t = 2\abs{\pp_i}\abs{\pp_f}\,\dd\cos\theta$ であり，$\dd\Omega=2\pi\,\dd\cos\theta$（方位角対称の場合）を使うと $\dd\Omega = \pi\,\dd t/(\abs{\pp_i}\abs{\pp_f})$．これを式 \eqref{eq:B-dsigma-cm} に代入して

$$ \begin{equation} \frac{\dd\sigma}{\dd t} = \frac{S\,\abs{\mathcal{M}}^2}{64\pi\,s\,\abs{\pp_i}^2} = \frac{S\,\abs{\mathcal{M}}^2}{16\pi\,\lambda(s,m_1^2,m_2^2)} \label{eq:B-dsigma-dt} \end{equation} $$

定理：$\dd\sigma/\dd t$ は Lorentz 不変である

式 \eqref{eq:B-dsigma-dt} の右辺には $s$，$t$（$\abs{\mathcal{M}}^2$ の中）と質量しか現れない．すべて不変量なので，$\dd\sigma/\dd t$ はどの慣性系で計算しても同じ値である．これに対し $\dd\sigma/\dd\Omega$ は系によって値が変わる（角度が系に依存するから）．

したがって実務上の鉄則は：まず不変量 $s,t,u$ で $\dd\sigma/\dd t$ を計算し，最後に必要な系の角度に変換する．先に系を固定すると，ヤコビアンの計算に埋もれて間違えやすい．

B.2.5 実験室系への変換

加速器実験の多くは，静止標的にビームを当てる実験室系（lab 系）で行われる．CM 系の結果を lab 系に翻訳する必要がある．

導出6：散乱角の系間変換

ステップ1：CM 系の速度を求める．粒子 2 が静止している lab 系で，粒子 1 のエネルギーを $E_1^\text{lab}$，運動量を $\abs{\pp_1^\text{lab}}$ とする．全四元運動量は $(E_1^\text{lab}+m_2,\ \pp_1^\text{lab})$ なので，CM 系は lab 系に対して

$$ \beta_\text{CM} = \frac{\abs{\pp_1^\text{lab}}}{E_1^\text{lab}+m_2}, \qquad \gamma_\text{CM} = \frac{E_1^\text{lab}+m_2}{\sqrt{s}}, \qquad s = m_1^2+m_2^2+2m_2E_1^\text{lab} $$

の速度で動いている．

ステップ2：粒子 3 の運動量を逆ブーストする．CM 系での粒子 3 の運動量を $(E_3^*,\ \pp_f)$，ビーム軸からの角を $\theta^*$ とすると，lab 系では

$$ p_{3\parallel}^\text{lab} = \gamma_\text{CM}\big(\abs{\pp_f}\cos\theta^* + \beta_\text{CM}E_3^*\big), \qquad p_{3\perp}^\text{lab} = \abs{\pp_f}\sin\theta^* $$

（垂直成分はブーストで変わらない．）

ステップ3：正接をとる．

$$ \begin{equation} \tan\theta^\text{lab} = \frac{p_{3\perp}^\text{lab}}{p_{3\parallel}^\text{lab}} = \frac{\sin\theta^*}{\gamma_\text{CM}\left(\cos\theta^* + \dfrac{\beta_\text{CM}}{\beta_3^*}\right)}, \qquad \beta_3^* \equiv \frac{\abs{\pp_f}}{E_3^*} \label{eq:B-lab-angle} \end{equation} $$

$\blacksquare$ $\beta_\text{CM}>\beta_3^*$ のとき，右辺の分母は $\cos\theta^*=-1$ でも正のままである．すなわち後方に散乱された粒子でも lab 系では前方に飛ぶようになり，$\theta^\text{lab}$ には最大値が存在する．重いビームで軽い標的を叩くとき（たとえば $\alpha$ 粒子で電子を叩くとき）に起きる状況で，このとき同じ $\theta^\text{lab}$ に二つの $\theta^*$ が対応するので，断面積は二つの寄与の和になる．

断面積の変換はヤコビアンで与えられる：

$$ \frac{\dd\sigma}{\dd\Omega^\text{lab}} = \frac{\dd\sigma}{\dd\Omega^*}\cdot\frac{\dd\cos\theta^*}{\dd\cos\theta^\text{lab}} $$

この微分を式 \eqref{eq:B-lab-angle} から求めるのは手間なので，実務では B.2.4 の鉄則どおり，まず不変な $\dd\sigma/\dd t$ を求め，そのうえで lab 系の観測量（散乱角，反跳エネルギー）を $t$ で表すのが確実である．弾性散乱では $t=-2m_2 T_2$（$T_2$ は標的の反跳運動エネルギー）という便利な関係が成り立つ．

例：固定標的は損である

固定標的では $s=m_1^2+m_2^2+2m_2E_1^\text{lab}$，すなわち $\sqrt{s}\simeq\sqrt{2m_2E_1^\text{lab}}$ である．重心エネルギーはビームエネルギーの平方根でしか伸びない．一方，同じエネルギー $E$ の粒子どうしを正面衝突させれば $\sqrt{s}=2E$ で，一次で伸びる．

数値で見よう．$Z$ ボソン（$m_Z=91.188\ \mathrm{GeV}$）を作るのに必要なエネルギーは，$e^+e^-$ 衝突型なら各ビーム $45.6\ \mathrm{GeV}$ で足りる（LEP がまさにこれである）．ところが陽電子ビームを静止電子に当てる固定標的でやろうとすると（電荷保存から $e^-e^-\to Z$ は起こらないので，固定標的でも $e^+$ ビームが要る）

$$ E_1^\text{lab} = \frac{s-2m_e^2}{2m_e} \simeq \frac{(91.188)^2}{2\times0.000511}\ \mathrm{GeV} = 8.1\times10^{6}\ \mathrm{GeV} = 8.1\ \mathrm{PeV} $$

$45.6\ \mathrm{GeV}$ 対 $8.1\ \mathrm{PeV}$，実に $18$ 万倍である．衝突型加速器が発明された理由がこの一行に凝縮されている．

(a) 重心系（CM） p₁ = +pi p₂ = −pi p₃ = +pf p₄ = −pf θ* s = (p₁+p₂)² = (E₁+E₂)² t = (p₁−p₃)² = m₁²+m₃²−2E₁E₃+2|pi||pf|cos θ* u = (p₁−p₄)² ， s + t + u = Σ mᵢ² 前方 θ* = 0 で t は最大（＝ 0 に最も近い）， 後方 θ* = π で t は最小（最も負）． (b) 実験室系（固定標的） p₁ (E₁ᶫᵃᵇ) 2 静止標的 p₃ p₄（反跳） θᶫᵃᵇ s = m₁² + m₂² + 2 m₂ E₁ᶫᵃᵇ → √s ∝ √E₁ᶫᵃᵇ tan θᶫᵃᵇ = sin θ* / [γCM (cos θ* + βCM/β₃*)] dσ/dt は両系で同じ値．dσ/dΩ は系ごとに違う． まず不変量で計算し，最後に系を選ぶのが定石．
図B.3　二体散乱の運動学．(a) 重心系では，入射二粒子も出射二粒子も背中合わせで，散乱角 $\theta^*$ 一つだけが自由度である（方位角は対称なら効かない）．(b) 実験室系では標的が静止しており，重心系全体が $\beta_\text{CM}$ で前方に走っているぶんだけ，出射粒子は前方に押し出される．時間方向は左から右である．どちらの図でも，$s$, $t$, $u$ の値は同一である．

材料科学との接点：RBS（Rutherford 後方散乱分析）は本節そのものである

薄膜の組成と深さ分布を測る標準手法であるRBS（Rutherford Backscattering Spectrometry）は，典型的には $2\ \mathrm{MeV}$ の $^4\mathrm{He}^+$ を試料に当て，$\theta^\text{lab}\simeq170^\circ$ に戻ってくるイオンのエネルギーを測る．この手法の二本柱は，本節の (i) 二体弾性散乱の運動学と (ii) Rutherford 断面積である．

(i) 運動学因子 $K$． 質量 $M_1$ の入射粒子が静止した質量 $M_2$ の原子核に弾性散乱され，$\theta$ 方向に出るときの，散乱後／散乱前のエネルギー比を $K$ とする．非相対論的なエネルギー・運動量保存（$2\ \mathrm{MeV}$ の He は $\beta\simeq0.033$ なので非相対論でよい）から，導出6と同じ手順で

$$ \begin{equation} K = \frac{E_1'}{E_1} = \left[\frac{\sqrt{M_2^2-M_1^2\sin^2\theta}+M_1\cos\theta}{M_1+M_2}\right]^2 \label{eq:B-rbs-K} \end{equation} $$

を得る．導出は次の三行である．運動量保存から反跳核の運動量を消去すると $(M_2v_2)^2=M_1^2(v_0^2-2v_0v_1\cos\theta+v_1^2)$，エネルギー保存から $M_2v_2^2=M_1(v_0^2-v_1^2)$．両者から $v_2$ を消すと $(M_1+M_2)v_1^2-2M_1v_0\cos\theta\,v_1+(M_1-M_2)v_0^2=0$ という $v_1$ の二次方程式になり，これを解けば式 \eqref{eq:B-rbs-K} が出る．

$^4\mathrm{He}$（$M_1=4$）を $\theta=170^\circ$ で使うと，$\mathrm{Si}$（$M_2=28$）では $K=0.565$，$\mathrm{Au}$（$M_2=197$）では $K=0.923$ である．入射 $2.0\ \mathrm{MeV}$ に対して散乱後は $1.13\ \mathrm{MeV}$ と $1.85\ \mathrm{MeV}$．この $0.7\ \mathrm{MeV}$ の差が，RBS のスペクトル上で Si と Au を分離する．質量分析を，質量分析器なしに，運動学だけで行っているのである．

(ii) 断面積． 実験室系の Rutherford 断面積は

$$ \frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}\bigg|_\text{lab} = \left(\frac{Z_1Z_2\,\alpha\,\hbar c}{4E_1}\right)^2 \frac{4}{\sin^4\theta}\; \frac{\left[\sqrt{1-\big((M_1/M_2)\sin\theta\big)^2}+\cos\theta\right]^2}{\sqrt{1-\big((M_1/M_2)\sin\theta\big)^2}} $$

である（$M_2\to\infty$ で有名な $\big(Z_1Z_2\alpha\hbar c/4E\big)^2/\sin^4(\theta/2)$ に帰着する）．$Z_1Z_2\alpha\hbar c$ の計算には $\alpha\hbar c=1.43996\ \mathrm{MeV\,fm}$ を使う．$2\ \mathrm{MeV}$ の He，$\theta=170^\circ$ で数値を入れると

$$ \mathrm{Si}:\ \frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}=24.8\ \mathrm{fm^2/sr}=0.248\ \mathrm{b/sr}, \qquad \mathrm{Au}:\ 820\ \mathrm{fm^2/sr}=8.20\ \mathrm{b/sr} $$

比は $33$ 倍で，$(Z_\mathrm{Au}/Z_\mathrm{Si})^2=(79/14)^2=31.8$ とほぼ一致する．RBS が軽元素基板の上の重元素に鋭敏なのは，断面積が $Z^2$ に比例するからである．逆に軽元素（C, N, O）の検出には向かず，そこは核反応解析（NRA）や弾性反跳検出（ERDA）の出番になる．

要するに RBS 分析装置の設計図は，式 \eqref{eq:B-rbs-K} と Rutherford 断面積，すなわち本節の二体散乱運動学と $t$ チャンネル光子交換の $\abs{\mathcal{M}}^2\propto1/t^2$ でできている．素粒子物理の付録が，そのまま薄膜分析の教科書になっている．

B.3 自然単位系と換算

B.3.1 なぜ $\hbar=c=1$ とするのか

相対論的量子論では，$c$ は時間と長さを結び，$\hbar$ はエネルギーと振動数を結ぶ．どちらも「単位の取り替え係数」であって，物理的な内容をもたない．そこで

$$ \hbar = c = 1 $$

と置く．こうすると

定義：自然単位系での次元

任意の量の次元を「エネルギーの何乗か」で表し，これを質量次元と呼ぶ．

表B.2 自然単位系での質量次元
量質量次元量質量次元
エネルギー，運動量，質量，温度$+1$長さ，時間$-1$
崩壊率 $\Gamma$$+1$断面積 $\sigma$$-2$
作用 $S$，角運動量$0$速度$0$
スカラー場 $\phi$，ベクトル場 $A^\mu$$+1$Dirac 場 $\psi$$+3/2$
ラグランジアン密度 $\Lag$$+4$電荷 $e$，$\alpha$$0$
Fermi 定数 $G_F$$-2$$\abs{\mathcal{M}}$（外線 $N$ 本）$4-N$

B.3.2 $\hbar$ と $c$ を戻す手続き

自然単位系で計算した答えを実験と比べるには，$\hbar$ と $c$ を戻さなければならない．手続きは機械的である．

定義：換算の三つの基本量

$$ \begin{equation} \hbar c = 197.327\ \mathrm{MeV\,fm} = 0.197327\ \mathrm{GeV\,fm} \label{eq:B-hbarc} \end{equation} $$
$$ \begin{equation} (\hbar c)^2 = 0.3894\ \mathrm{GeV^2\,mb} \label{eq:B-hbarc2} \end{equation} $$
$$ \hbar = 6.58212\times10^{-22}\ \mathrm{MeV\,s} = 6.58212\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}, \qquad c = 2.99792\times10^{23}\ \mathrm{fm/s} $$

この三つ（実質は $\hbar c$ と $\hbar$ の二つ）を覚えていれば，あらゆる換算ができる．

なぜ $(\hbar c)^2$ を別に覚えるのか

断面積は GeV$^{-2}$ で出てくるので，$(\hbar c)^2$ を掛ければ面積になる．$(0.197327\ \mathrm{GeV\,fm})^2 = 0.038938\ \mathrm{GeV^2\,fm^2}$ で，$1\ \mathrm{fm^2}=10\ \mathrm{mb}$ だから $0.38938\ \mathrm{GeV^2\,mb}$．つまり

$$ 1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0.3894\ \mathrm{mb} = 389.4\ \mu\mathrm{b} = 3.894\times10^{5}\ \mathrm{nb} $$

である．断面積を扱う人が毎回 $\hbar c$ から二乗を計算するのは面倒なので，$0.3894$ という数字だけ独立に覚えてしまうのが実務である．

導出7：換算の手続き（三つの規則）

規則1：長さ． $1\ \mathrm{GeV^{-1}}$ を長さに直すには $\hbar c$ を掛ける．

$$ 1\ \mathrm{GeV^{-1}} \times (0.197327\ \mathrm{GeV\,fm}) = 0.197327\ \mathrm{fm} = 1.97327\times10^{-16}\ \mathrm{m} $$

規則2：時間． $1\ \mathrm{GeV^{-1}}$ を時間に直すには $\hbar$ を掛ける．

$$ 1\ \mathrm{GeV^{-1}} \times (6.58212\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}) = 6.58212\times10^{-25}\ \mathrm{s} $$

規則3：面積． $1\ \mathrm{GeV^{-2}}$ を面積に直すには $(\hbar c)^2$ を掛ける．結果は上の $0.3894\ \mathrm{mb}$．

一般に，質量次元 $-n$ の量を SI に直すには「$\hbar$ を $a$ 個，$c$ を $b$ 個掛けて，欲しい次元になるように $a,b$ を決める」だけである．次元解析さえ間違えなければ，どの組合せを選んでも同じ答えになる．$\blacksquare$

表B.3 自然単位系から SI への換算表
自然単位系での値掛けるものSI での値用途
$1\ \mathrm{GeV^{-1}}$（長さ）$\hbar c$$0.19733\ \mathrm{fm}=1.9733\times10^{-16}\ \mathrm{m}$相互作用の到達距離
$1\ \mathrm{GeV^{-1}}$（時間）$\hbar$$6.5821\times10^{-25}\ \mathrm{s}$寿命
$1\ \mathrm{GeV^{-2}}$（面積）$(\hbar c)^2$$0.3894\ \mathrm{mb}=3.894\times10^{-31}\ \mathrm{m^2}$断面積
$1\ \mathrm{GeV}$（エネルギー）$-$$1.6022\times10^{-10}\ \mathrm{J}$
$1\ \mathrm{GeV}$（質量）$1/c^2$$1.7827\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$$m_p=0.938\ \mathrm{GeV}$
$1\ \mathrm{GeV^{4}}$（エネルギー密度）$1/(\hbar c)^3$$2.085\times10^{37}\ \mathrm{J/m^3}$真空エネルギー
$\Gamma=1\ \mathrm{MeV}$$\hbar/\Gamma$$\tau = 6.582\times10^{-22}\ \mathrm{s}$幅から寿命
$\Gamma=1\ \mathrm{eV}$$\hbar/\Gamma$$\tau = 6.582\times10^{-16}\ \mathrm{s}=0.658\ \mathrm{fs}$内殻正孔寿命など
$1\ \mathrm{fm^2}$$-$$10\ \mathrm{mb}$
$1\ \mathrm{barn}$$-$$100\ \mathrm{fm^2}=10^{-28}\ \mathrm{m^2}$

例：換算の練習（三題）

(1) $Z$ ボソンの寿命． $\Gamma_Z=2.4952\ \mathrm{GeV}$ である．

$$ \tau = \frac{\hbar}{\Gamma_Z} = \frac{6.5821\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}}{2.4952\ \mathrm{GeV}} = 2.638\times10^{-25}\ \mathrm{s} $$

飛行距離は $c\tau = 2.998\times10^{23}\ \mathrm{fm/s}\times2.638\times10^{-25}\ \mathrm{s} = 0.0791\ \mathrm{fm}$．陽子の半径（$0.84\ \mathrm{fm}$）の $1/10$ である．$Z$ は生成された場所から動く前に壊れる．したがって $Z$ は「飛跡」を残さず，崩壊生成物の不変質量からしか存在を知ることができない．

(2) $\mu$ 粒子の幅． $\tau_\mu=2.19698\times10^{-6}\ \mathrm{s}$ である．

$$ \Gamma_\mu = \frac{\hbar}{\tau_\mu} = \frac{6.58212\times10^{-22}\ \mathrm{MeV\,s}}{2.19698\times10^{-6}\ \mathrm{s}} = 2.996\times10^{-16}\ \mathrm{MeV} = 3.00\times10^{-19}\ \mathrm{GeV} $$

$c\tau_\mu = 2.998\times10^{8}\ \mathrm{m/s}\times2.197\times10^{-6}\ \mathrm{s} = 658.6\ \mathrm{m}$．大気上層 $15\ \mathrm{km}$ で生まれたミュオンが地表に届くのは，時間の遅れ $\gamma$ 倍のおかげである（B.5 節）．

(3) 断面積． $\sigma = 2.23\times10^{-4}\ \mathrm{GeV^{-2}}$ という計算結果を得たとする（$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ で $s=1\ \mathrm{GeV^2}$ の場合）．

$$ \sigma = 2.23\times10^{-4}\ \mathrm{GeV^{-2}} \times 0.3894\ \mathrm{mb\,GeV^{2}} = 8.68\times10^{-5}\ \mathrm{mb} = 86.8\ \mathrm{nb} $$

材料科学との接点：単位の辞書 — eV・Å・fs・cm$^{-1}$ と GeV の間

材料科学者は GeV を使わないが，やっていることは同じ換算である．$\hbar c=197.327\ \mathrm{MeV\,fm}$ を $\mathrm{eV}$ と $\mathrm{nm}$ で書き直すと

$$ \hbar c = 197.327\ \mathrm{eV\,nm} \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda\,[\mathrm{nm}] = \frac{2\pi\hbar c}{E} = \frac{1239.84}{E\,[\mathrm{eV}]} $$

という，光学でおなじみの $E\lambda=1240\ \mathrm{eV\,nm}$ が出てくる．素粒子屋が「$1\ \mathrm{GeV^{-1}}=0.197\ \mathrm{fm}$」と言うのと，物性屋が「$1\ \mathrm{eV}$ の光は $1240\ \mathrm{nm}$」と言うのは，$\hbar c$ を単位を変えて二回言っているだけである．

表B.4 材料科学でよく使う単位の辞書（上 6 行は $1\ \mathrm{eV}$ を基準にした換算，下 3 行は参考として原子単位の定義値）
単位値用途
波数 $\tilde\nu$$8065.54\ \mathrm{cm^{-1}}$赤外・Raman
振動数 $\nu$$241.799\ \mathrm{THz}$フォノン，THz 分光
温度 $E/k_B$$11604.5\ \mathrm{K}$熱励起，Debye 温度
波長 $hc/E$$1239.84\ \mathrm{nm}$光学，バンドギャップ
時間 $\hbar/E$$0.65821\ \mathrm{fs}$準粒子寿命
エネルギー$1.60218\times10^{-19}\ \mathrm{J}$
Hartree$1\ \mathrm{Ha}=27.2114\ \mathrm{eV}$第一原理計算
Rydberg$1\ \mathrm{Ry}=13.6057\ \mathrm{eV}$擬ポテンシャル
Bohr 半径$a_0=0.529177\ \mathrm{\AA}$第一原理計算

実用例をひとつ．XPS で内殻準位のピーク幅（自然幅）が $\Gamma=0.5\ \mathrm{eV}$ だったとする．内殻正孔の寿命は式 \eqref{eq:B-tau} で

$$ \tau = \frac{\hbar}{\Gamma} = \frac{6.582\times10^{-16}\ \mathrm{eV\,s}}{0.5\ \mathrm{eV}} = 1.32\times10^{-15}\ \mathrm{s} = 1.3\ \mathrm{fs} $$

である．これは Auger 過程と蛍光 X 線の全崩壊率の逆数であり，$\Gamma=\Gamma_\text{Auger}+\Gamma_\text{X}$ と分解される．蛍光収率 $\omega=\Gamma_\text{X}/\Gamma$ は，まさに式 \eqref{eq:B-br} の分岐比である．$Z$ ボソンの $\Gamma_{ee}/\Gamma_Z$ を測るのと，Cu の $K$ 殻の蛍光収率 $\omega_K=0.44$ を測るのは，同じ量を測っている．

B.4 Breit–Wigner 共鳴

B.4.1 不安定粒子はどこにいるのか

寿命 $\tau=\hbar/\Gamma$ の不安定粒子を，その静止系で「そこに居る」という状態から書き下してみる．安定粒子なら $\psi(t)\propto\ee^{-\ii Mt/\hbar}$ である．不安定なら，存在確率 $\abs{\psi}^2$ が $\ee^{-\Gamma t/\hbar}$ で減らなければならない．そのためには

$$ \psi(t) = \psi(0)\,\ee^{-\ii Mt/\hbar}\,\ee^{-\Gamma t/(2\hbar)} = \psi(0)\,\exp\!\left[-\frac{\ii}{\hbar}\left(M-\frac{\ii\Gamma}{2}\right)t\right] \qquad(t>0) $$

とすればよい．$\abs{\psi(t)}^2 = \abs{\psi(0)}^2\ee^{-\Gamma t/\hbar}$ となって式 \eqref{eq:B-expdecay} を再現する．要するに不安定粒子とは，質量が複素数 $M-\ii\Gamma/2$ の粒子である．以下，自然単位系 $\hbar=1$ に戻す．

導出8：時間領域の指数減衰 $\Leftrightarrow$ エネルギー領域の Lorentz 型

ステップ1：Fourier 変換する．粒子が $t=0$ に生成されたとして，$t<0$ では $\psi=0$ とする．エネルギー表示に移ると

$$ \tilde\psi(E) = \int_0^\infty \dd t\;\ee^{\ii Et}\,\ee^{-\ii Mt}\,\ee^{-\Gamma t/2} = \int_0^\infty \dd t\;\ee^{\ii(E-M+\ii\Gamma/2)t} $$

ステップ2：積分を実行する．指数の実部が $-\Gamma t/2 < 0$ なので上端で収束し

$$ \tilde\psi(E) = \left[\frac{\ee^{\ii(E-M+\ii\Gamma/2)t}}{\ii(E-M+\ii\Gamma/2)}\right]_0^\infty = \frac{-1}{\ii(E-M+\ii\Gamma/2)} = \frac{\ii}{E-M+\ii\Gamma/2} $$

ステップ3：確率密度をとる．

$$ \begin{equation} \abs{\tilde\psi(E)}^2 = \frac{1}{(E-M)^2+\Gamma^2/4} \label{eq:B-bw-ft} \end{equation} $$

$\blacksquare$ これが Breit–Wigner 分布（Lorentz 分布，Cauchy 分布）である．$E=M$ でピークをもち，$E=M\pm\Gamma/2$ で値が半分になる．すなわち$\Gamma$ は半値全幅（FWHM）そのものである．

物理的意味：幅と寿命は不確定性関係である

導出8は「時間領域の減衰定数 $\Gamma$」と「エネルギー領域の線幅 $\Gamma$」が同じ文字であることを示した．これは偶然ではなく，Fourier 変換の一般的な性質——時間幅と振動数幅の積は $O(1)$——の具体化である．エネルギー・時間の不確定性関係

$$ \Delta E\,\Delta t \sim \hbar $$

を，$\Delta E=\Gamma$，$\Delta t=\tau$ と読めば $\Gamma\tau=\hbar$，すなわち式 \eqref{eq:B-tau} である．「不安定な粒子は質量が定まらない」という言い方をよくするが，正確には「質量分布が幅 $\Gamma$ をもつ」であり，その幅は寿命の逆数で決まっている．

$Z$ ボソンの質量を $91.1876\pm0.0021\ \mathrm{GeV}$ と書けるのは，$2.4952\ \mathrm{GeV}$ の幅をもつ分布の中心を，何百万事象も集めて統計的に精密決定したからである．一個一個の $Z$ の質量は $\pm1.25\ \mathrm{GeV}$ 程度ばらついている．

B.4.2 共鳴断面積

散乱でも同じことが起きる．$1+2\to R\to3+4$ という中間状態（共鳴 $R$）を経る過程では，振幅の分母に $s-M^2+\ii M\Gamma$ が現れる：

$$ \begin{equation} \mathcal{M} \;\propto\; \frac{1}{s-M^2+\ii M\Gamma} \qquad\Longrightarrow\qquad \abs{\mathcal{M}}^2 \;\propto\; \frac{1}{(s-M^2)^2+M^2\Gamma^2} \label{eq:B-bw-amp} \end{equation} $$

非相対論的な近似（$\sqrt{s}=E\simeq M$，$s-M^2\simeq2M(E-M)$）では，これは式 \eqref{eq:B-bw-ft} の形に帰着する．スピンと分岐比の因子を正しく入れると，共鳴断面積は次のように書ける．

定理：Breit–Wigner 共鳴断面積（非相対論形）

スピン $s_1$，$s_2$ の粒子が衝突してスピン $J$ の共鳴 $R$ を作り，チャンネル $f$ に崩壊するとき

$$ \begin{equation} \sigma(E) = \frac{\pi}{k^2}\; \underbrace{\frac{2J+1}{(2s_1+1)(2s_2+1)}}_{\displaystyle g\ (\text{スピン因子})}\; \frac{\Gamma_i\,\Gamma_f}{(E-E_R)^2+\Gamma^2/4} \label{eq:B-bw-nr} \end{equation} $$

ここで $k$ は CM 系での入射運動量，$\Gamma_i$ は入射チャンネルへの部分幅，$\Gamma_f$ は出射チャンネルへの部分幅，$\Gamma$ は全幅である．ピーク（$E=E_R$）での値は

$$ \begin{equation} \sigma_\text{peak} = \frac{4\pi}{k^2}\,g\,B_iB_f, \qquad B_i=\frac{\Gamma_i}{\Gamma},\quad B_f=\frac{\Gamma_f}{\Gamma} \label{eq:B-bw-peak} \end{equation} $$

である（$\Gamma_i\Gamma_f/(\Gamma^2/4)=4B_iB_f$ を使った）．

なぜ $\pi/k^2$ が出てくるのか — ユニタリティ極限

式 \eqref{eq:B-bw-peak} で $g=1$，$B_i=B_f=1$（弾性で単一チャンネル）とすると $\sigma_\text{peak}=4\pi/k^2$ となる．これは部分波展開における $\ell=0$ のユニタリティ極限そのものである（一般には $\ell$ 波で $4\pi(2\ell+1)/k^2$）．確率が $1$ を超えられないという要請だけから，断面積に上限が付く．

$k^2$ が分母にあるので，低エネルギーほど断面積は大きくなりうる．熱中性子（$k$ が小さい）の捕獲断面積が $10^5$ バーンにも達するのは，これが理由である（$^{157}\mathrm{Gd}$ の $2.5\times10^5$ b は，幾何学的な原子核の断面積 $\sim1$ b の $25$ 万倍である）．物質の「的の面積」が原子核の大きさで決まると思ってはいけない．波長が効くのである．

B.4.3 相対論的 Breit–Wigner と $Z$ 共鳴

高エネルギーでは相対論的な形を使う．スピン $1$ の共鳴（$Z$，$\rho$，$J/\psi$，$\Upsilon$）が $e^+e^-$（スピン $1/2$ の対）から作られる場合，$g=3/(2\cdot2)=3/4$ であり，式 \eqref{eq:B-bw-peak} の $4\pi/k^2$ で $k\simeq M/2$（電子の質量を無視）とすると $4\pi/(M/2)^2=16\pi/M^2$．したがって

$$ \begin{equation} \sigma(s) = \frac{12\pi}{M^2}\; \frac{s\,\Gamma_{ee}\,\Gamma_{f}}{(s-M^2)^2+M^2\Gamma^2}, \qquad \sigma_\text{peak} = \frac{12\pi}{M^2}\frac{\Gamma_{ee}\Gamma_f}{\Gamma^2} \label{eq:B-bw-rel} \end{equation} $$

例：$Z$ 共鳴のピーク断面積（LEP の数値）

PDG 2022 の値 $M_Z=91.1876\ \mathrm{GeV}$，$\Gamma_Z=2.4952\ \mathrm{GeV}$，$\Gamma_{ee}=83.984\ \mathrm{MeV}$，$\Gamma_\text{had}=1744.4\ \mathrm{MeV}$ を式 \eqref{eq:B-bw-rel} に入れる（$\Gamma_{ee}$ にはレプトン普遍性を仮定した三世代平均 $\Gamma_{\ell\ell}=83.984\pm0.086\ \mathrm{MeV}$ を使った．分岐比 $\mathrm{BR}(Z\to e^+e^-)=3.3632\%$ に $\Gamma_Z$ を掛けた $e^+e^-$ 単独の値は $83.92\ \mathrm{MeV}$ で，どちらを使っても以下の結論は変わらない）．

$$ \sigma_\text{peak}^\text{had} = \frac{12\pi}{(91.1876)^2}\cdot\frac{(0.083984)(1.7444)}{(2.4952)^2}\ \mathrm{GeV^{-2}} = \frac{37.699\times0.14650}{8315.2\times6.2260}\ \mathrm{GeV^{-2}} = 1.067\times10^{-4}\ \mathrm{GeV^{-2}} $$

これを $(\hbar c)^2=0.3894\ \mathrm{GeV^2\,mb}$ で換算すると

$$ \sigma_\text{peak}^\text{had} = 1.067\times10^{-4}\times0.3894\ \mathrm{mb} = 4.15\times10^{-5}\ \mathrm{mb} = 41.5\ \mathrm{nb} $$

LEP の測定値（輻射補正を戻した Born 断面積）は $\sigma^0_\text{had}=41.481\pm0.033\ \mathrm{nb}$ である（$2020$ 年に Bhabha 散乱の高次補正を入れてルミノシティを再評価した後の LEP 値．再評価する前は $41.54\pm0.04\ \mathrm{nb}$ という値が使われていた）．三桁の一致で，しかも計算は電卓 5 分である．

同じ計算を $\mu^+\mu^-$ について（$\Gamma_{\mu\mu}=83.99\ \mathrm{MeV}$）行うと $\sigma_\text{peak}^{\mu\mu}=2.00\ \mathrm{nb}$ となる．一方，同じ $\sqrt{s}=91.19\ \mathrm{GeV}$ での純 QED の $e^+e^-\to\gamma^*\to\mu^+\mu^-$（B.5 節）は $86.8/8315=0.0104\ \mathrm{nb}$ にすぎない．共鳴は断面積を約 $192$ 倍に増幅する．LEP が「$Z$ 工場」と呼ばれたのはこのためである．

注意：幅と寿命の定義には流儀がある

文献によって $\Gamma$ や $\tau$ の定義が微妙に違うので，数値を引くときは確認すること．はじめの二つは $\Gamma$ の入れ方（エネルギー側）の流儀，三つめは寿命（時間側）の流儀である．

B.4.4 低エネルギーの裾：$1/v$ 則

導出9：中性子捕獲断面積が $1/v$ に比例する理由

ステップ1：共鳴からずっと下のエネルギーを考える．$E\ll E_R$ では式 \eqref{eq:B-bw-nr} の分母は $E_R^2+\Gamma^2/4\simeq$ 定数となる．したがって

$$ \sigma(E) \simeq \frac{\pi g}{k^2}\,\frac{\Gamma_n(E)\,\Gamma_\gamma}{E_R^2+\Gamma^2/4} \;\propto\;\frac{\Gamma_n(E)}{k^2} $$

ここで入射チャンネルの部分幅を $\Gamma_n$（中性子放出幅），出射を $\Gamma_\gamma$（$\gamma$ 放出幅）と書いた．

ステップ2：中性子幅のエネルギー依存性を入れる．$\Gamma_n$ は「共鳴が中性子を放出する崩壊率」であるから，式 \eqref{eq:B-decay2} より終状態運動量 $k$ に比例する（$s$ 波なら $\abs{\mathcal{M}}^2$ は $k$ によらない）：

$$ \Gamma_n \;\propto\; k \;\propto\; v $$

ステップ3：合わせる．

$$ \begin{equation} \sigma \;\propto\; \frac{k}{k^2} = \frac{1}{k} \;\propto\; \frac{1}{v} \label{eq:B-oneoverv} \end{equation} $$

$\blacksquare$ これが原子炉物理でおなじみの$1/v$ 則である．熱中性子の断面積は $2200\ \mathrm{m/s}$（$0.0253\ \mathrm{eV}$）での値で表にされ，別の速度での値は $\sigma(v)=\sigma_0\,v_0/v$ で見積もる．

反応率のほうを見ると面白いことが起きる．単位時間あたりの反応数は $n\sigma v$ に比例するが，$\sigma\propto1/v$ なら $\sigma v=$ 一定である．すなわち$1/v$ 領域では，反応率は中性子の速度によらない．原子炉の制御が可能なのは，この平坦さのおかげでもある．

(a) エネルギー領域の Breit–Wigner 共鳴．断面積 σ(E) は中心 E_R，半値全幅 Γ の Lorentz 型で，橙の破線で示す減衰振動子の Im χ(ω) も共鳴の近くでは同じ形になる．(b) 時間領域では存在確率 |ψ(t)|² が e^(−Γt/ħ) で指数減衰し，t=τ=ħ/Γ で 1/e になる．
図B.4　Breit–Wigner 共鳴の二つの顔．(a) エネルギー領域では，断面積が中心 $E_R$，半値全幅 $\Gamma$ の Lorentz 型になる（青実線）．橙の破線は減衰振動子の $\mathrm{Im}\,\chi(\omega)$ で，共鳴の近く（$\gamma\ll\omega_0$）では同じ形である（$\gamma\leftrightarrow\Gamma$）．(b) 時間領域では，存在確率が $\ee^{-\Gamma t/\hbar}$ で減衰し，時定数は $\tau=\hbar/\Gamma$．二つの図は Fourier 変換（導出8）で結ばれており，同じ物理の二つの表現である．

材料科学との接点：Breit–Wigner は減衰振動子であり，準粒子のスペクトル関数である

(1) Lorentz 振動子． 『線形応答理論入門』第2章・第3章で扱った減衰振動子は，外力 $F\ee^{-\ii\omega t}$ に対して

$$ \chi(\omega) = \frac{1/m}{\omega_0^2-\omega^2-\ii\gamma\omega} $$

という応答関数をもつ．共鳴の近く $\omega\simeq\omega_0$ では $\omega_0^2-\omega^2\simeq2\omega_0(\omega_0-\omega)$ と展開できるので

$$ \chi(\omega) \simeq \frac{1}{2m\omega_0}\cdot\frac{1}{(\omega_0-\omega)-\ii\gamma/2} \quad\Longrightarrow\quad \abs{\chi(\omega)}^2 \propto \frac{1}{(\omega-\omega_0)^2+(\gamma/2)^2} $$

式 \eqref{eq:B-bw-ft} と字面まで同じである．$M\leftrightarrow\hbar\omega_0$，$\Gamma\leftrightarrow\hbar\gamma$．誘電関数 $\varepsilon(\omega)=1+\sum_j f_j\omega_p^2/(\omega_j^2-\omega^2-\ii\gamma_j\omega)$ を Lorentz 振動子の和で書く「Lorentz–Drude モデル」は，物質の光学応答を「共鳴の集まり」と見る立場であり，これは素粒子物理で断面積を Breit–Wigner の和で書くのとまったく同じ発想である．

(2) 準粒子のスペクトル関数． 相互作用する電子系では，1 粒子 Green 関数 $G(\kk,\omega)=[\omega-\varepsilon_\kk-\Sigma(\kk,\omega)]^{-1}$ から，スペクトル関数

$$ A(\kk,\omega) = -\frac{1}{\pi}\mathrm{Im}\,G = \frac{1}{\pi}\,\frac{\abs{\mathrm{Im}\,\Sigma}}{\big(\omega-\varepsilon_\kk-\mathrm{Re}\,\Sigma\big)^2+\big(\mathrm{Im}\,\Sigma\big)^2} $$

が得られる．これも Breit–Wigner である．$\mathrm{Re}\,\Sigma$ がピーク位置のずれ（くりこまれたバンド），$\mathrm{Im}\,\Sigma$ が幅を与える．ARPES の EDC（エネルギー分布曲線）の半値全幅が $2\abs{\mathrm{Im}\,\Sigma}$ であり（MDC，すなわち運動量分布曲線の幅は運動量の単位で $2\abs{\mathrm{Im}\,\Sigma}/(\hbar v)$ になる．$v$ は裸のバンドの群速度），準粒子寿命は

$$ \tau = \frac{\hbar}{2\abs{\mathrm{Im}\,\Sigma}} $$

である．$\abs{\mathrm{Im}\,\Sigma}=50\ \mathrm{meV}$ なら $\tau=6.582\times10^{-16}/0.1 = 6.6\ \mathrm{fs}$．素粒子側で「$Z$ ボソンはくりこまれた質量 $M_Z$ と幅 $\Gamma_Z$ をもつ」と言うことと，物性側で「準粒子はくりこまれたエネルギー $\varepsilon+\mathrm{Re}\Sigma$ と幅 $2\mathrm{Im}\Sigma$ をもつ」と言うことは，同じ自己エネルギー $\Sigma$ の実部と虚部の話である．第10章のくりこみは，物性の準粒子描像と同じ枠組みの上にある．

(3) フォノン線幅． B.1.4 で見た非調和フォノンの崩壊率 $\Gamma_\lambda$ は，Raman スペクトルや非弾性中性子散乱のピークの半値全幅として直接観測される．たとえば $\Gamma=3\ \mathrm{cm^{-1}}$ なら，表B.4 の辞書を使って $3\ \mathrm{cm^{-1}}=3/8065.54\ \mathrm{eV}=0.372\ \mathrm{meV}$，したがって

$$ \tau = \frac{\hbar}{\Gamma} = \frac{6.582\times10^{-16}\ \mathrm{eV\,s}}{3.72\times10^{-4}\ \mathrm{eV}} = 1.8\times10^{-12}\ \mathrm{s} = 1.8\ \mathrm{ps} $$

である．素粒子の $Z$ ボソンで $\Gamma=2.5\ \mathrm{GeV}\Rightarrow\tau=2.6\times10^{-25}\ \mathrm{s}$ を出したのと，まったく同じ一行の計算である．違いは $\Gamma$ が $13$ 桁違うことだけで，式は同一である．

B.5 数値例集

ここまでの公式を，実際に数値が出るところまで使ってみる．すべて手計算で追える形にしてある．

表B.5 代表的な粒子の幅・寿命・飛行距離（PDG 2022 の値，有効数字は 3〜4 桁）
粒子質量全幅 $\Gamma$寿命 $\tau$$c\tau$主な崩壊
$Z$$91.188\ \mathrm{GeV}$$2.4952\ \mathrm{GeV}$$2.64\times10^{-25}\ \mathrm{s}$$0.0791\ \mathrm{fm}$$q\bar q\ (69.9\%)$
$W^\pm$$80.377\ \mathrm{GeV}$$2.085\ \mathrm{GeV}$$3.16\times10^{-25}\ \mathrm{s}$$0.0946\ \mathrm{fm}$$q\bar q'\ (67.4\%)$
$t$ クォーク$172.69\ \mathrm{GeV}$$1.42\ \mathrm{GeV}$$4.64\times10^{-25}\ \mathrm{s}$$0.139\ \mathrm{fm}$$bW\ (\simeq100\%)$
$H$$125.25\ \mathrm{GeV}$$4.1\ \mathrm{MeV}$（理論値）$1.61\times10^{-22}\ \mathrm{s}$$48\ \mathrm{fm}$$b\bar b\ (58\%)$
$\Delta(1232)$$1232\ \mathrm{MeV}$$117\ \mathrm{MeV}$$5.63\times10^{-24}\ \mathrm{s}$$1.69\ \mathrm{fm}$$N\pi\ (\simeq100\%)$
$\rho(770)$$775.3\ \mathrm{MeV}$$149.1\ \mathrm{MeV}$$4.41\times10^{-24}\ \mathrm{s}$$1.32\ \mathrm{fm}$$\pi\pi\ (\simeq100\%)$
$J/\psi$$3096.9\ \mathrm{MeV}$$92.6\ \mathrm{keV}$$7.11\times10^{-21}\ \mathrm{s}$$2.13\ \mathrm{pm}$ハドロン $(87.7\%)$
$\pi^0$$134.977\ \mathrm{MeV}$$7.81\ \mathrm{eV}$$8.43\times10^{-17}\ \mathrm{s}$$25.3\ \mathrm{nm}$$\gamma\gamma\ (98.8\%)$
$\tau^\pm$$1776.86\ \mathrm{MeV}$$2.27\ \mathrm{meV}$$2.903\times10^{-13}\ \mathrm{s}$$87.0\ \mu\mathrm{m}$ハドロン $(64.8\%)$
$\pi^\pm$$139.570\ \mathrm{MeV}$$2.53\times10^{-8}\ \mathrm{eV}$$2.6033\times10^{-8}\ \mathrm{s}$$7.80\ \mathrm{m}$$\mu\nu\ (99.99\%)$
$\mu^\pm$$105.658\ \mathrm{MeV}$$3.00\times10^{-10}\ \mathrm{eV}$$2.1970\times10^{-6}\ \mathrm{s}$$658.6\ \mathrm{m}$$e\nu\bar\nu\ (\simeq100\%)$
$n$$939.565\ \mathrm{MeV}$$7.49\times10^{-19}\ \mathrm{eV}$$878.4\ \mathrm{s}$$2.63\times10^{11}\ \mathrm{m}$$pe\bar\nu\ (100\%)$

この表を眺めると，幅が $28$ 桁近く（$Z$ の $2.50\ \mathrm{GeV}$ から中性子の $7.5\times10^{-19}\ \mathrm{eV}$ まで）にわたって分布していることが分かる．おおまかには，強い相互作用で壊れる粒子（$\Delta$，$\rho$）が $\sim100\ \mathrm{MeV}$，電磁相互作用で壊れる粒子（$\pi^0$）が $\sim\mathrm{eV}$，弱い相互作用で壊れる粒子（$\pi^\pm$，$\mu$，$n$）が $\sim10^{-8}\ \mathrm{eV}$ 以下である．結合定数の強さがそのまま寿命の桁に現れている．

B.5.1 $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$

例1：QED の教科書的断面積

第10章で計算するように，$s\gg m_\mu^2$ での QED の結果は

$$ \frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} = \frac{\alpha^2}{4s}\big(1+\cos^2\theta\big) \qquad\Longrightarrow\qquad \sigma = \frac{4\pi\alpha^2}{3s} $$

である（角度積分：$\int(1+\cos^2\theta)\dd\Omega = 2\pi\int_{-1}^{1}(1+x^2)\dd x = 2\pi\cdot\frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}$，これに $\alpha^2/(4s)$ を掛ける）．

数値化． $\alpha=1/137.036$，$\alpha^2=5.3251\times10^{-5}$．

$$ \sigma = \frac{4\pi\times5.3251\times10^{-5}}{3\,s} = \frac{2.2306\times10^{-4}}{s\,[\mathrm{GeV^2}]}\ \mathrm{GeV^{-2}} $$

$(\hbar c)^2=0.3894\ \mathrm{GeV^2\,mb}=3.894\times10^{5}\ \mathrm{GeV^2\,nb}$ を掛けると $86.85\ \mathrm{nb}$ となる．以下では $86.8\ \mathrm{nb}$ と切り捨てて書く．

$$ \begin{equation} \sigma\big(e^+e^-\to\mu^+\mu^-\big) = \frac{86.8\ \mathrm{nb}}{s\,[\mathrm{GeV^2}]} \label{eq:B-mumu} \end{equation} $$

この一行は，$e^+e^-$ 衝突実験の「ものさし」である．測定した断面積を式 \eqref{eq:B-mumu} で割った量を $R$ 比と呼び，ハドロン生成断面積との比 $R=\sigma_\text{had}/\sigma_{\mu\mu}$ からクォークの電荷と色の数が読める（第11章）．

具体値．

e⁺e⁻→μ⁺μ⁻ の断面積の概形（両対数）．青緑の直線が QED の連続部分 σ=86.8 nb/s[GeV²]（傾き −2）で，赤の尖りが J/ψ（3.10 GeV，約 5×10³ nb），Υ(1S)（9.46 GeV，約 10² nb），Z（91.19 GeV，2.0 nb）の共鳴である．
図B.5　$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ の断面積の概形（両対数）．青の直線が QED の連続部分 $\sigma=4\pi\alpha^2/(3s)$（式 \eqref{eq:B-mumu}），赤の尖りが $J/\psi$（$3.10\ \mathrm{GeV}$，$\sigma_\text{peak}\simeq5\times10^3\ \mathrm{nb}$），$\Upsilon(1S)$（$9.46\ \mathrm{GeV}$，$\simeq10^2\ \mathrm{nb}$），$Z$（$91.19\ \mathrm{GeV}$，$2.0\ \mathrm{nb}$）の Breit–Wigner 共鳴である．ピーク高さは式 \eqref{eq:B-bw-rel} の Born 値で，実測ではビームエネルギー広がりと初期状態輻射により，幅の狭い共鳴ほど大きく低く・広くならされる（$J/\psi$ の実効幅は $\Gamma=92.6\ \mathrm{keV}$ に対し実験の分解能が $\mathrm{MeV}$ 級であるため）．

B.5.2 $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$：二体崩壊の実例

例2：荷電パイ中間子の寿命

(1) 終状態運動量． $m_\pi=139.570\ \mathrm{MeV}$，$m_\mu=105.658\ \mathrm{MeV}$，$m_\nu\simeq0$．式 \eqref{eq:B-pfac} で $m_3=0$ とすると

$$ \abs{\pp} = \frac{m_\pi^2-m_\mu^2}{2m_\pi} = \frac{(139.570)^2-(105.658)^2}{2\times139.570} = \frac{19479.8-11163.6}{279.14}\ \mathrm{MeV} = 29.79\ \mathrm{MeV} $$

ミュオンの運動エネルギーは $\sqrt{29.79^2+105.658^2}-105.658 = 109.78-105.66=4.12\ \mathrm{MeV}$．静止パイ中間子から出るミュオンが単色で $4.12\ \mathrm{MeV}$ であることは，ミュオンスピン回転（$\mu$SR）実験でスピン偏極したミュオンビームを作る原理そのものである（表面ミュオンと呼ばれる）．

(2) 幅を測定値から求める． $\tau=2.6033\times10^{-8}\ \mathrm{s}$ だから

$$ \Gamma = \frac{\hbar}{\tau} = \frac{6.58212\times10^{-22}\ \mathrm{MeV\,s}}{2.6033\times10^{-8}\ \mathrm{s}} = 2.528\times10^{-14}\ \mathrm{MeV} = 2.528\times10^{-17}\ \mathrm{GeV} $$

(3) 振幅を逆算する． 式 \eqref{eq:B-decay2} を $\abs{\mathcal{M}}^2$ について解くと（$S=1$，自然単位系）

$$ \abs{\mathcal{M}}^2 = \frac{8\pi m_\pi^2\,\Gamma}{\abs{\pp}} = \frac{8\pi\times19479.8\ \mathrm{MeV^2}\times2.528\times10^{-14}\ \mathrm{MeV}}{29.79\ \mathrm{MeV}} = 4.16\times10^{-10}\ \mathrm{MeV^2} $$

すなわち $\abs{\mathcal{M}}=2.04\times10^{-5}\ \mathrm{MeV}=20.4\ \mathrm{eV}$．$[\mathcal{M}]=1$（外線 3 本なので $4-3=1$）という次元則どおり，質量の次元をもっている．

(4) 理論値と比べる． 第12章で導く弱い相互作用の予言は

$$ \Gamma = \frac{G_F^2}{8\pi}f_\pi^2\,m_\mu^2\,m_\pi\left(1-\frac{m_\mu^2}{m_\pi^2}\right)^2\abs{V_{ud}}^2 $$

である．$G_F=1.1664\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$，$f_\pi=0.1302\ \mathrm{GeV}$，$\abs{V_{ud}}=0.9737$ を入れると

$$ \Gamma_\text{theory} = 2.47\times10^{-17}\ \mathrm{GeV} \qquad\text{vs}\qquad \Gamma_\text{exp} = 2.53\times10^{-17}\ \mathrm{GeV} $$

差は $2.3\%$ で，これは輻射補正（$\pi\to\mu\nu\gamma$ を含む $O(\alpha)$ 効果）の大きさとよく合う．ただし一言添えておくと，$f_\pi=130.2\ \mathrm{MeV}$ という値自体がこの崩壊率の測定から（輻射補正を差し引いて）決められているので，これは独立な予言ではなく整合性の確認である．独立な検証にするには，格子 QCD が与える $f_\pi$ と比べればよい．

(5) 飛行距離． $c\tau=7.80\ \mathrm{m}$．$1\ \mathrm{GeV}$ のパイ中間子なら $\gamma=E/m=1000/139.57=7.16$，$\beta\gamma=\abs{\pp}/m=990.2/139.57=7.09$ なので，実験室系での平均飛行距離は $\beta\gamma\,c\tau=55.3\ \mathrm{m}$ である（飛ぶ距離は速さ $\beta c$ と遅れた寿命 $\gamma\tau$ の積なので，$\gamma c\tau$ ではなく $\beta\gamma c\tau=(\abs{\pp}/m)c\tau$ である．$\beta=0.990$ なので両者の違いは $1\%$）．J-PARC や FNAL のニュートリノビームラインで，ターゲットの下流に数十〜百メートルの「崩壊トンネル」が必要な理由がこれである．

B.5.3 $\mu^-\to e^-\bar\nu_e\nu_\mu$：三体崩壊の実例

例3：ミュオン崩壊と $G_F$ の決定

(1) 次元解析だけで形が決まる． $[\,G_F]=-2$（表B.2），$[\Gamma]=+1$．ミュオン崩壊の振幅は $G_F$ に比例するので $\Gamma\propto G_F^2\times[\text{質量}]^5$．終状態が軽いので使える質量は $m_\mu$ だけである．したがって

$$ \Gamma \;\propto\; G_F^2\,m_\mu^5 $$

係数まで計算すると（第12章）

$$ \begin{equation} \Gamma_\mu = \frac{G_F^2\,m_\mu^5}{192\pi^3} \label{eq:B-mudecay} \end{equation} $$

(2) 数値． $G_F^2=1.36049\times10^{-10}\ \mathrm{GeV^{-4}}$，$m_\mu^5=(0.105658)^5=1.31678\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^5}$，$192\pi^3=5953.2$．

$$ \Gamma_\mu = \frac{1.36049\times10^{-10}\times1.31678\times10^{-5}}{5953.2} = \frac{1.79146\times10^{-15}}{5953.2} = 3.009\times10^{-19}\ \mathrm{GeV} $$ $$ \tau_\mu = \frac{\hbar}{\Gamma_\mu} = \frac{6.58212\times10^{-25}}{3.009\times10^{-19}} = 2.187\times10^{-6}\ \mathrm{s} $$

測定値 $2.19698\times10^{-6}\ \mathrm{s}$ との差は $0.4\%$．残りは電子質量による位相空間補正（$-1.87\times10^{-4}$）と $O(\alpha)$ 輻射補正（$-4.2\times10^{-3}$）で，これらを入れると $10^{-5}$ の精度で一致する．さらに 2 ループの QED 補正まで含めた関係式を使うと $10^{-6}$ 級になるが，これは独立な検証ではない．$G_F$ の値そのものが，その関係式を通してこのミュオン寿命の測定（MuLan 実験，精度 $1\ \mathrm{ppm}$）から定義されているからである．

(3) 三体崩壊であることの証拠． 二体崩壊なら電子は単色になるはずである（B.1.4 導出2のステップ3）．実際には電子のエネルギーは $0$ から $m_\mu/2=52.8\ \mathrm{MeV}$ まで連続分布し，その形は Michel スペクトル $\dd\Gamma/\dd x \propto x^2(3-2x)$（$x=2E_e/m_\mu$）で与えられる．この連続分布こそが「見えない粒子が 2 個出ている」ことの証拠であり，$\beta$ 崩壊で Pauli がニュートリノを提案した論理（第2章）と同じである．

(4) 宇宙線ミュオン． $c\tau_\mu=658.6\ \mathrm{m}$ である．大気上層 $15\ \mathrm{km}$ で生まれたミュオンは，静止系の寿命だけなら $658.6\ \mathrm{m}$ しか飛べず，地表に届かないはずである．ところが $E=3\ \mathrm{GeV}$ のミュオンは $\beta\gamma=\abs{\pp}/m=2998.1/105.658=28.4$ なので，実験室系での飛行距離は $\beta\gamma\,c\tau = 18.7\ \mathrm{km}$．届く．式 \eqref{eq:B-decay-general} の前置因子が $1/(2m_1)$ ではなく一般には $1/(2E_1)$ であること，つまり時間の遅れが崩壊率の式に最初から埋め込まれていることの，もっとも身近な現れである．

B.5.4 中性子捕獲

例4：熱中性子の吸収と遮蔽

熱中性子（$v_0=2200\ \mathrm{m/s}$，$E=0.0253\ \mathrm{eV}$）の捕獲断面積は，核種によって $6$ 桁も違う．

表B.6 熱中性子（$2200\ \mathrm{m/s}$）の捕獲断面積
核種$\sigma$ [barn]反応材料科学での役割
$^1\mathrm{H}$$0.333$$(n,\gamma)$減速材（水），水素分析
$^{56}\mathrm{Fe}$$2.59$$(n,\gamma)$構造材の放射化
$^{10}\mathrm{B}$$3835$$(n,\alpha)^7\mathrm{Li}$制御棒，中性子検出，BNCT
$^{113}\mathrm{Cd}$$20600$$(n,\gamma)$制御棒（Cd 天然存在比 $12\%$）
$^{157}\mathrm{Gd}$$254000$$(n,\gamma)$可燃性毒物，MRI 造影剤の同位体

平均自由行程の計算． 炭化ホウ素 $\mathrm{B_4C}$（密度 $2.52\ \mathrm{g/cm^3}$，式量 $55.25\ \mathrm{g/mol}$）の場合．

$$ n(\mathrm{B_4C}) = \frac{2.52}{55.25}\times6.022\times10^{23} = 2.747\times10^{22}\ \mathrm{cm^{-3}} $$

ホウ素原子はその 4 倍で $1.099\times10^{23}\ \mathrm{cm^{-3}}$，そのうち $^{10}\mathrm{B}$ は天然存在比 $19.9\%$ なので

$$ n(^{10}\mathrm{B}) = 2.187\times10^{22}\ \mathrm{cm^{-3}} $$

マクロ断面積は $\Sigma = n\sigma = 2.187\times10^{22}\times3835\times10^{-24}\ \mathrm{cm^2} = 83.9\ \mathrm{cm^{-1}}$，したがって

$$ \lambda = \frac{1}{\Sigma} = 0.0119\ \mathrm{cm} = 0.12\ \mathrm{mm} $$

厚さ $1\ \mathrm{mm}$ の $\mathrm{B_4C}$ 板は熱中性子を $\ee^{-8.4}\simeq2\times10^{-4}$ に落とす．制御棒や中性子シャッターが薄くて済む理由である．

$1/v$ 則の適用． $\sigma\propto1/v$（導出9）なので，$14\ \mathrm{MeV}$ の高速中性子（$v=5.2\times10^{7}\ \mathrm{m/s}$）に対する $^{10}\mathrm{B}$ の捕獲断面積は，単純外挿で $3835\times(2200/5.2\times10^7)=0.16\ \mathrm{b}$ 程度まで落ちる（実際にはこの領域では他の反応チャンネルが開く）．核融合炉の $14\ \mathrm{MeV}$ 中性子は $\mathrm{B_4C}$ では止まらない．まず水素や炭素で減速してから吸収させる必要がある．核融合炉のブランケット設計が「減速材＋吸収材」の多層構造になるのは，この $1/v$ 則の直接の帰結である．

半導体での意味． かつて LSI の層間絶縁膜に使われたホウ素リンケイ酸ガラス (BPSG) には $^{10}\mathrm{B}$ が含まれており，宇宙線由来の熱中性子が $^{10}\mathrm{B}(n,\alpha)^7\mathrm{Li}$ を起こすと，$1.47\ \mathrm{MeV}$ の $\alpha$ 粒子と $0.84\ \mathrm{MeV}$ の $^7\mathrm{Li}$ がシリコン中に電子正孔対をばらまき，メモリのビット反転（ソフトエラー）を引き起こした．$3835$ バーンという巨大な断面積が，材料選択を変えさせた実例である．現在の先端プロセスで BPSG が使われないのは，このためでもある．

B.5.5 DT 核融合

例5：$\mathrm{D}+\mathrm{T}\to{}^4\mathrm{He}+n$ の運動学と反応率

(1) 二体反応の運動学． $Q$ 値（解放エネルギー）は $17.59\ \mathrm{MeV}$．入射エネルギーが $Q$ に比べて無視できるとき，生成物は静止系で背中合わせに出る（B.1.4）．非相対論的には運動量保存 $m_\alpha v_\alpha = m_n v_n$ とエネルギー保存 $\frac12m_\alpha v_\alpha^2+\frac12m_nv_n^2=Q$ から

$$ E_n = Q\,\frac{m_\alpha}{m_\alpha+m_n} = 17.59\times\frac{4}{5} = 14.07\ \mathrm{MeV}, \qquad E_\alpha = 17.59\times\frac{1}{5} = 3.52\ \mathrm{MeV} $$

軽いほうが速いという二体崩壊の一般則（式 \eqref{eq:B-kallen} の $\abs{\pp}$ が共通で $E=\abs{\pp}^2/2m$）が，「$14\ \mathrm{MeV}$ 中性子」と「$3.5\ \mathrm{MeV}$ アルファ」という核融合工学の二大キーワードを決めている．前者は壁を貫いてトリチウム増殖と発電を担い（同時に材料を壊し），後者は荷電粒子なのでプラズマ中に留まって自己加熱する．

(2) 断面積のピークは Breit–Wigner 共鳴である． DT 反応の断面積は $E_\text{cm}=64\ \mathrm{keV}$（重陽子の実験室系エネルギーで約 $107\ \mathrm{keV}$）に鋭いピークをもち，そこで $\sigma\simeq5\ \mathrm{barn}$ に達する．これは複合核 $^5\mathrm{He}$ の $J^P=3/2^+$ 状態が d+t しきい値のすぐ上にあることによる共鳴であり，式 \eqref{eq:B-bw-nr} で記述される．$5\ \mathrm{barn}$ という値は，重陽子の幾何学的断面積（$\pi(2\ \mathrm{fm})^2=0.13\ \mathrm{b}$）の $40$ 倍で，B.4.2 の「波長が効く」という話そのものである．競合する反応と比べてみよう．DD 反応にはこの種の共鳴がなく，断面積はピークでも $\sim0.1\ \mathrm{b}$（$E_\text{cm}\sim1\ \mathrm{MeV}$）にとどまり，DT の 2 桁下である．一方 D–$^3$He には，鏡像核 $^5\mathrm{Li}$ の同じ $J^P=3/2^+$ 状態（励起エネルギー $16.66\ \mathrm{MeV}$，d+$^3$He しきい値の直上）による共鳴がちゃんと存在する．それでも実用上 DT に及ばないのは，$Z=2$ の Coulomb 障壁が高くて共鳴の位置が高エネルギー側に押し上げられているためで，ピークは $E_\text{cm}\simeq250\ \mathrm{keV}$ で $\sigma\simeq0.9\ \mathrm{b}$（DT の約 $1/5$）である．炉心温度 $10$–$20\ \mathrm{keV}$ ではこのピークにほとんど届かないので，$\langle\sigma v\rangle$ は DT より 2 桁小さくなる．人類が最初に狙う核融合が DT である理由は，$^5\mathrm{He}$ の共鳴が低い Coulomb 障壁のすぐ上にあったという核構造の偶然である．

(3) 反応率と出力密度． Maxwell 分布のプラズマでは，反応率は $\langle\sigma v\rangle$ で表す．$T=15\ \mathrm{keV}$ で $\langle\sigma v\rangle = 2.6\times10^{-22}\ \mathrm{m^3/s}$ である．$n_D=n_T=n/2$ とすると単位体積あたりの反応数は

$$ R = n_Dn_T\langle\sigma v\rangle = \frac{n^2}{4}\langle\sigma v\rangle $$

核融合出力密度は $P = R\,Q$ である．$n=10^{20}\ \mathrm{m^{-3}}$，$Q=17.59\ \mathrm{MeV}=2.818\times10^{-12}\ \mathrm{J}$ とすると

$$ P = \frac{(10^{20})^2}{4}\times2.6\times10^{-22}\times2.818\times10^{-12} = 1.8\times10^{6}\ \mathrm{W/m^3} = 1.8\ \mathrm{MW/m^3} $$

ITER の設計値（$\sim0.5\text{–}1\ \mathrm{MW/m^3}$）と同じ桁である．$P\propto n^2$ なので，密度を上げることが出力に効く．これがローソン条件 $n\tau_E T$ の背後にある単純な事情である．

材料科学との接点：$14\ \mathrm{MeV}$ 中性子が第一壁に何をするか

例5の $(1)$ で出た $14.07\ \mathrm{MeV}$ の中性子は，電荷をもたないのでプラズマの磁場に閉じ込められず，まっすぐ第一壁に飛び込む．ここから先は完全に材料科学の問題になるが，使う道具はやはり断面積である．

(a) 中性子フラックス． 中性子壁負荷（wall load）$P_w=2\ \mathrm{MW/m^2}$ の炉なら，中性子束は

$$ \phi = \frac{P_w}{E_n} = \frac{2\times10^{6}\ \mathrm{W/m^2}}{14.07\times1.602\times10^{-13}\ \mathrm{J}} = 8.9\times10^{17}\ \mathrm{m^{-2}s^{-1}} $$

(b) はじき出し損傷 (dpa)． 中性子が格子原子を弾き飛ばす確率は「はじき出し断面積 $\sigma_d$」で表され，単位時間あたりの dpa（displacements per atom）率は $\dot{d}=\phi\,\sigma_d$ である．経験則として，鉄鋼では $1\ \mathrm{MW\,yr/m^2}$ の中性子照射がおよそ $10\ \mathrm{dpa}$ に相当する（設計で使う換算則．断面積から紙と電卓で粗く見積もると $7.7\text{–}8\ \mathrm{dpa/yr}$ per $\mathrm{MW/m^2}$ と 2 割ほど小さく，壁負荷 $2\ \mathrm{MW/m^2}$ では年 $16\ \mathrm{dpa}$ になる．第1章 1.5.2 項・第16章 16.2.3 項）．したがって上の炉では年間 $20\ \mathrm{dpa}$，$5$ 年運転で $100\ \mathrm{dpa}$ に達する．全原子が平均 $100$ 回はじき飛ばされる勘定である．

(c) ヘリウム生成． $14\ \mathrm{MeV}$ 中性子は $(n,\alpha)$ 反応を起こす．鉄鋼では $1\ \mathrm{dpa}$ あたり $10\text{–}15\ \mathrm{appm}$ の He が生成し，これが粒界に集まってヘリウム脆化とスエリング（体積膨張）を起こす．核分裂炉の中性子（平均 $\sim2\ \mathrm{MeV}$）では事情が違う．鉄の $(n,\alpha)$ は $^{56}\mathrm{Fe}(n,\alpha)^{53}\mathrm{Cr}$ のように $Q$ 値が正の発熱反応なので運動学的なしきい値はないが，$\alpha$ が出ていくときの Coulomb 障壁のため断面積が立ち上がるのは実効的に数 MeV 以上であり，核分裂スペクトルにはその成分がわずかしか含まれない．そのため He 生成は $1\ \mathrm{dpa}$ あたり $0.1$–$0.5\ \mathrm{appm}$ と 1〜2 桁少なくなる．核分裂炉の材料データを核融合炉にそのまま使えないのはこのためである．低放射化フェライト鋼（F82H, EUROFER）や酸化物分散強化鋼 (ODS) の開発，そして専用の中性子源 (IFMIF/DONES) が必要とされる理由が，$(n,\alpha)$ という一つの断面積にある．

この節の話を式で追うと，出発点は式 \eqref{eq:B-sigma-def} の $R=\phi N\sigma$ ただ一本である．素粒子物理の断面積の定義が，そのまま核融合炉材料の寿命設計式になっている．第16章では，この線をさらに延長して照射損傷の第一原理シミュレーションまで話をつなぐ．

B.5.6 Thomson 散乱：X 線回折の基礎単位

例6：自由電子による光散乱

$\omega\ll m_e$ の極限で，光子が自由電子に散乱される断面積（Thomson 断面積）は

$$ \sigma_T = \frac{8\pi}{3}\,r_e^2, \qquad r_e \equiv \frac{\alpha\hbar c}{m_ec^2} = \frac{1.43996\ \mathrm{MeV\,fm}}{0.511\ \mathrm{MeV}} = 2.818\ \mathrm{fm} $$

である（第10章で Klein–Nishina 公式の低エネルギー極限として導く）．数値は

$$ \sigma_T = \frac{8\pi}{3}\times(2.818\ \mathrm{fm})^2 = 8.3776\times7.941\ \mathrm{fm^2} = 66.5\ \mathrm{fm^2} = 0.665\ \mathrm{barn} $$

自然単位系で直接やっても同じである：$\sigma_T = 8\pi\alpha^2/(3m_e^2) = 8.3776\times5.325\times10^{-5}/2.611\times10^{-7} = 1708\ \mathrm{GeV^{-2}}$，$\times0.3894\ \mathrm{mb} = 665\ \mathrm{mb}$．

材料科学での意味． X 線回折の強度計算に出てくる「電子 1 個あたりの散乱能」がまさにこの $r_e$ であり，原子散乱因子 $f(\bm{Q})$ は「その原子が電子何個分に見えるか」を表す無次元量である．構造因子 $F(\bm{Q})=\sum_j f_j\ee^{\ii\bm{Q}\cdot\bm{r}_j}$ から回折強度 $I\propto\abs{F}^2$ を出す手続きは，本付録で $\mathcal{M}$ から $\abs{\mathcal{M}}^2$ を経て $\sigma$ を出す手続きと同型である．$f$ が $\mathcal{M}$，$\sigma_T$ が単位換算の役を果たしている．

ついでに言えば，$\sigma_T$ が $1/m^2$ に比例することから，同じ機構で陽子が散乱する断面積は $(m_e/m_p)^2=3\times10^{-7}$ 倍である．X 線が電子だけを見て原子核を見ないのは，この質量比の二乗による．中性子が逆に原子核だけを見るのは，散乱機構が核力（と磁気モーメント）だからである．X 線と中性子が相補的な構造解析手段である理由が，断面積の式の中に書いてある．

B.6 まとめと演習

B.6.1 まとめ

B.6.2 演習問題

演習B.1　二体崩壊の運動学

式 \eqref{eq:B-pfac} を使って，静止した親粒子から出る娘粒子の運動量 $\abs{\pp}$ を求めよ．質量は本書の値（$m_{\pi^0}=134.977$，$m_{\pi^\pm}=139.570$，$m_{K^\pm}=493.677$，$m_\rho=775.26$，すべて MeV）を使う．

(1) $\pi^0\to\gamma\gamma$．娘粒子は両方とも質量ゼロである．

(2) $K^+\to\pi^+\pi^0$．

(3) $\rho^0\to\pi^+\pi^-$．また，このとき $\rho$ の全幅 $\Gamma=149.1\ \mathrm{MeV}$ を式 \eqref{eq:B-decay2} に入れて $\abs{\mathcal{M}}$ を求めよ（$S=1$）．

(4) $\mu^-\to e^-\bar\nu_e\nu_\mu$ は三体崩壊である．電子のエネルギーの最大値を求めよ（ヒント：二つのニュートリノが同じ向きに，電子が反対向きに出るときが最大）．

ヒント：(1) $\abs{\pp}=m_{\pi^0}/2=67.49\ \mathrm{MeV}$．(2) $\abs{\pp}=205.14\ \mathrm{MeV}$（$m_1^2-(m_2+m_3)^2=1.6834\times10^5$，$m_1^2-(m_2-m_3)^2=2.4370\times10^5\ \mathrm{MeV^2}$）．(3) $\abs{\pp}=\sqrt{m_\rho^2/4-m_\pi^2}=361.6\ \mathrm{MeV}$，$\abs{\mathcal{M}}^2 = 8\pi m_\rho^2\Gamma/\abs{\pp}=6.23\times10^{6}\ \mathrm{MeV^2}$ すなわち $\abs{\mathcal{M}}=2.50\times10^3\ \mathrm{MeV}$（$m_\rho$ と同程度の大きさで，$[\mathcal{M}]=1$ の次元則と整合する）．(4) 二つのニュートリノを合わせて質量ゼロの一粒子と見れば二体崩壊になり，$E_e^\text{max}=(m_\mu^2+m_e^2)/(2m_\mu)=52.83\ \mathrm{MeV}\simeq m_\mu/2$．

演習B.2　統計因子 $S$

次の各過程について統計因子 $S$ を答え，理由を一行で述べよ．

(1) $\eta\to\pi^0\pi^0\pi^0$　(2) $\omega\to\pi^+\pi^-\pi^0$　(3) $e^+e^-\to\gamma\gamma$　(4) $e^-e^-\to e^-e^-$　(5) $pp\to pp\pi^+\pi^-$　(6) $H\to ZZ\to \mu^+\mu^-\mu^+\mu^-$

(7) $\pi^0\to\gamma\gamma$ の崩壊率を式 \eqref{eq:B-decay2} で書くとき $S=1/2$ を掛ける．もし $S$ を忘れると，$\abs{\mathcal{M}}$ をどれだけ間違えることになるか．

ヒント：(1) $1/3!=1/6$．(2) $1$（3 個とも区別できる）．(3) $1/2$．(4) $1/2$．(5) $1/2$（陽子 2 個のみ同種．$\pi^+$ と $\pi^-$ は区別できる）．(6) $\mu^+$ が 2 個，$\mu^-$ が 2 個で $S=(1/2)\times(1/2)=1/4$．(7) 測定された $\Gamma$ から逆算する向きでは，$S=1/2$ を落とすと $\abs{\mathcal{M}}^2$ を正しい値の半分と見誤り，$\abs{\mathcal{M}}$ は $1/\sqrt2=0.71$ 倍に過小評価される（逆に $\abs{\mathcal{M}}$ から $\Gamma$ を予言する向きでは $\Gamma$ を 2 倍に過大評価する）．いずれにせよ食い違いの大きさは $\abs{\mathcal{M}}$ で $\sqrt2=1.41$ 倍である．

演習B.3　自然単位系の換算

$\hbar c=197.327\ \mathrm{MeV\,fm}$，$\hbar=6.58212\times10^{-22}\ \mathrm{MeV\,s}$，$(\hbar c)^2=0.3894\ \mathrm{GeV^2\,mb}$ を使う．

(1) $\rho(770)$ の全幅は $\Gamma=149.1\ \mathrm{MeV}$ である．寿命 $\tau$ と飛行距離 $c\tau$ を求め，陽子半径 $0.84\ \mathrm{fm}$ と比べよ．

(2) $\tau$ レプトンの寿命は $2.903\times10^{-13}\ \mathrm{s}$ である．全幅を $\mathrm{meV}$ 単位で求めよ．

(3) ある散乱過程の断面積が $\sigma=1.5\times10^{-3}\ \mathrm{GeV^{-2}}$ と計算された．これを $\mathrm{nb}$ に直せ．

(4) 湯川ポテンシャルの到達距離は $1/m$ である．$W$ ボソン（$80.377\ \mathrm{GeV}$）が媒介する弱い相互作用の到達距離を $\mathrm{fm}$ で求め，陽子半径と比べよ．

ヒント：(1) $\tau=4.41\times10^{-24}\ \mathrm{s}$，$c\tau=1.32\ \mathrm{fm}$．$\rho$ はハドロン 1 個分の距離しか飛べない．(2) $\Gamma=\hbar/\tau=2.267\times10^{-9}\ \mathrm{MeV}=2.27\ \mathrm{meV}$．(3) $1.5\times10^{-3}\times3.894\times10^{5}\ \mathrm{nb}=584\ \mathrm{nb}$．(4) $\hbar c/m_Wc^2 = 0.197327/80.377\ \mathrm{fm}=2.46\times10^{-3}\ \mathrm{fm}$．陽子半径の $1/340$ で，だから弱い相互作用は「点接触」（$G_F$）で近似できる．

演習B.4　Mandelstam 変数と不変断面積

質量をすべて無視できる $1+2\to3+4$ を考える（$m_i=0$）．CM 系での散乱角を $\theta$，重心エネルギー二乗を $s$ とする．

(1) 式 \eqref{eq:B-t-cm} を使って，$t$ と $u$ を $s$ と $\theta$ で表せ．

(2) 式 \eqref{eq:B-stu-sum} が満たされていることを確かめよ．

(3) 式 \eqref{eq:B-dsigma-cm} と式 \eqref{eq:B-dsigma-dt} が整合することを，$\abs{\pp_i}=\abs{\pp_f}=\sqrt{s}/2$ を使って示せ．

(4) $t$ の取りうる範囲を求めよ．また，$\abs{\mathcal{M}}^2\propto1/t^2$（$t$ チャンネルで質量ゼロの粒子を交換する場合）のとき，全断面積 $\sigma=\int\dd\sigma$ が発散することを示し，その発散が前方（$\theta\to0$）から来ることを確かめよ．

ヒント：(1) $t=-\dfrac{s}{2}(1-\cos\theta)$，$u=-\dfrac{s}{2}(1+\cos\theta)$．(2) 和は $s-s/2-s/2=0=\sum m_i^2$．(3) $\dd\sigma/\dd t = (\pi/(\abs{\pp_i}\abs{\pp_f}))\,\dd\sigma/\dd\Omega = (4\pi/s)\cdot S\abs{\mathcal{M}}^2/(64\pi^2s) = S\abs{\mathcal{M}}^2/(16\pi s^2)$．式 \eqref{eq:B-dsigma-dt} に $\abs{\pp_i}^2=s/4$ を入れても同じ．(4) $-s\le t\le0$．$\int_{-s}^{0}\dd t/t^2$ は $t\to0$ で発散し，$t\to0$ は $\theta\to0$．遮蔽（質量）を入れると $\int\dd t/(t-m^2)^2$ となって有限になる．

演習B.5　$Z$ 共鳴とニュートリノの世代数

PDG 2022 の値：$M_Z=91.1876\ \mathrm{GeV}$，$\Gamma_Z=2495.2\ \mathrm{MeV}$，$\Gamma_{ee}=83.92\ \mathrm{MeV}$，$\Gamma_{\mu\mu}=83.99\ \mathrm{MeV}$，$\Gamma_{\tau\tau}=84.08\ \mathrm{MeV}$，$\Gamma_\text{had}=1744.4\ \mathrm{MeV}$（荷電レプトンの部分幅は分岐比に $\Gamma_Z$ を掛けた値．三世代平均は $\Gamma_{\ell\ell}=83.984\ \mathrm{MeV}$）．

(1) 式 \eqref{eq:B-bw-rel} を使って，$Z$ ピークでのハドロン生成断面積 $\sigma^\text{had}_\text{peak}$ を $\mathrm{nb}$ で求めよ．

(2) 同じく $\mu^+\mu^-$ 生成のピーク断面積を求め，同じ $\sqrt{s}$ での純 QED の値（式 \eqref{eq:B-mumu}）と比べよ．

(3) 全幅から，測定されたチャンネル（ハドロン＋3 世代の荷電レプトン）の寄与を引き，「見えない幅」$\Gamma_\text{inv}$ を求めよ．

(4) 標準模型は $\Gamma(Z\to\nu\bar\nu)=167.2\ \mathrm{MeV}$（1 世代あたり．PDG の電弱フィットの値で，$\Gamma_\text{inv}^\text{SM}=501.7\ \mathrm{MeV}$ の $1/3$）を予言する．ニュートリノの世代数 $N_\nu$ を求めよ．

ヒント：(1) $1.066\times10^{-4}\ \mathrm{GeV^{-2}}\times0.3894\ \mathrm{mb}=41.5\ \mathrm{nb}$．(2) $2.00\ \mathrm{nb}$ 対 $0.0104\ \mathrm{nb}$，比は $192$．(3) $\Gamma_\text{inv}=2495.2-1744.4-(83.92+83.99+84.08)=498.8\ \mathrm{MeV}$．(4) $N_\nu=498.8/167.2=2.98$．軽いニュートリノは 3 世代しかない——LEP がたった一つの共鳴曲線から出したこの結論は，標準模型の世代数に関する最も強い実験的制約の一つである．

演習B.6　材料科学の線幅・寿命・平均自由行程

本付録の式が材料の測定量にそのまま使えることを確かめる．$\hbar=6.582\times10^{-16}\ \mathrm{eV\,s}$，$1\ \mathrm{eV}=8065.54\ \mathrm{cm^{-1}}$ を使う．

(1) ある結晶の Raman ピークの半値全幅が $3.0\ \mathrm{cm^{-1}}$ であった．式 \eqref{eq:B-tau} を使ってフォノン寿命 $\tau$ を求めよ．また，群速度を $4\times10^{3}\ \mathrm{m/s}$ としてフォノンの平均自由行程を見積もれ．

(2) XPS で測った内殻準位の自然幅が $0.50\ \mathrm{eV}$ であった．内殻正孔の寿命を求めよ．蛍光収率が $\omega_K=0.44$ のとき，蛍光 X 線放出の部分幅 $\Gamma_\text{X}$ と Auger 過程の部分幅 $\Gamma_\text{Auger}$ をそれぞれ求めよ（式 \eqref{eq:B-br}）．

(3) B.5.4 の $\mathrm{B_4C}$（$\Sigma=83.9\ \mathrm{cm^{-1}}$）で，熱中性子の強度を $1/1000$ に落とすのに必要な厚さを求めよ．

(4) ARPES の EDC で準粒子ピークの半値全幅が $100\ \mathrm{meV}$ であった．準粒子寿命 $\tau$ と，Fermi 速度 $v_F=5\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$ としたときの平均自由行程を求めよ．

ヒント：(1) $3.0\ \mathrm{cm^{-1}}=3.72\times10^{-4}\ \mathrm{eV}$，$\tau=\hbar/\Gamma=1.8\times10^{-12}\ \mathrm{s}=1.8\ \mathrm{ps}$．平均自由行程 $=v\tau=7.1\ \mathrm{nm}$．(2) $\tau=6.582\times10^{-16}/0.50=1.3\times10^{-15}\ \mathrm{s}=1.3\ \mathrm{fs}$．$\Gamma_\text{X}=0.44\times0.50=0.22\ \mathrm{eV}$，$\Gamma_\text{Auger}=0.28\ \mathrm{eV}$．(3) $x=\ln(1000)/\Sigma=6.908/83.9=0.082\ \mathrm{cm}=0.82\ \mathrm{mm}$．(4) $\tau=\hbar/\Gamma=6.58\ \mathrm{fs}$，平均自由行程 $=v_F\tau=3.3\ \mathrm{nm}$．いずれも「幅を測って $\hbar$ で割る」という，$Z$ ボソンとまったく同じ一行である．

参考文献

  1. D. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, 2nd revised ed., Wiley-VCH (2008), Appendix B「Decay Rates and Cross Sections」および第6章．本付録の底本．
  2. Particle Data Group (R. L. Workman et al.), "Review of Particle Physics", Prog. Theor. Exp. Phys. 2022, 083C01 (2022). 特に "Kinematics" の章に本付録の公式が簡潔にまとめられており，数値はすべてここから引いた．
  3. M. E. Peskin, D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley (1995), 4.5 節「Cross Sections and the S-Matrix」．フラックス因子と位相空間の丁寧な導出．
  4. R. H. Dalitz, "On the analysis of $\tau$-meson data and the nature of the $\tau$-meson", Phil. Mag. 44, 1068 (1953). Dalitz プロットの原論文．
  5. W.-K. Chu, J. W. Mayer, M.-A. Nicolet, Backscattering Spectrometry, Academic Press (1978). RBS の運動学因子と Rutherford 断面積の実務的な扱い．
  6. S. J. Zinkle, L. L. Snead, "Designing Radiation Resistance in Materials for Fusion Energy", Annu. Rev. Mater. Res. 44, 241 (2014). $14\ \mathrm{MeV}$ 中性子照射と dpa・ヘリウム生成．
  7. 本シリーズ『線形応答理論入門』第2章・第3章（減衰振動子と応答関数），『固体物理学入門』（フォノン・状態密度），『密度汎関数理論入門』（Thomas–Fermi 遮蔽）．B.4 節の材料科学との接点はこれらと直結している．