Taylor 展開はどこから来るのか

― 講義ノート「Taylor's theorem（テイラーの定理）」の導出をたどる（学部 1・2 年生向け）

物理の式のほとんどは，どこかで Taylor 展開を切ったものです． sin θ ≒ θ も，E ≒ mc² + ½mv² も，「ポテンシャルの底はばねになる」も，全部これです．では Taylor 展開の式そのものは，どこから来たのか．講義ノートの流れに沿って，1 行ずつ組み立てます．

この導出の急所を先に出発点は微積分学の基本定理だけです．それを 1 回使うと 1 次近似が出ます．ところがその 1 次近似は，f だけでなく f′ にも同じように使えます． f′ の 1 次近似を最初の積分に代入し直すと 2 次近似が出て，それをまた代入すると 3 次が出て ―― という入れ子が Taylor 展開の正体です．新しい道具は一切使いません．同じ 1 手を繰り返すだけです（捨てた分を厳密な等式にする §5 でだけ，平均値の定理を 1 つ借ります）．

0. 何を証明するのか

講義ノートの Definition を，端点 a での微分係数まで保証する形に補うと次のようになります．関数 f(x) とその導関数 f′, …, f⁽ⁿ⁾ が閉区間 [a, X] で連続で，開区間 (a, X) で f⁽ⁿ⁺¹⁾ が存在するとき，ある c（a < c < X）が存在して

(1)

f (X) = f (a) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (X - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(X - a)}^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(X - a)}^{n} + R_{n + 1}

(2)

R_{n + 1} = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(X - a)}^{n + 1}

R は誤差そのものです

R_{n + 1}

を Lagrange の剰余項といいます．これは「打ち切ったせいで足りなくなった分」を まとめて 1 個の項に押し込んだもので，無限級数の尻尾ではありません．だから (1) は ≒ ではなく = です ―― Taylor の定理は近似式ではなく等式だ，というのがまず大事なところです．

以下では，講義ノートの Explanation にならって $X = a + h$ と書き直して進めます．h が「中心からどれだけ離れたか」です．

1. 出発点 ―― 微積分学の基本定理

使う道具はこれ 1 つだけです．f′ を a から a+h まで積分すれば， f の増分がそのまま出てきます．

\int_{a}^{a + h} f^{'} (x) d x = f (a + h) - f (a)

移項すると，

(3)

f (a + h) = f (a) + \int_{a}^{a + h} \underset{ここに近似を入れる}{\underset{⏟}{f^{'} (x)}} d x

(3) は厳密ですここにはまだ近似がひとつも入っていません．この先やることはただ 1 つ ―― 波括弧でしるした f′(x) の中身を，少しずつ良い近似で置き換えていくことだけです．置き換えの精度を 1 段上げるたびに，Taylor 展開の次数が 1 つ上がります．

2. 1 次近似 ―― 接線

いちばん粗い置き換えから始めます．h が小さければ， f は a での接線とほとんど区別がつきません．

(4)

f (a + h) ≒ f (a) + h f^{'} (a) （1 次近似）

ここで $x = a + h$ と置き直すと， h を消して x の式にできます．

(5)

f (x) ≒ f (a) + (x - a) f^{'} (a)

図 1．講義ノートの「Imagine!!」の図． 接線で近似したときの誤差 R が，h を半分にすると4 分の 1になる様子． R ∝ h² であることが，右下の R/h² がほぼ一定になることから読み取れます．

関数中心 a = 0.40 離れ h = 0.800

3. 同じ手を f′ に使う ―― 2 次が生まれる

ここが講義ノートの急所です．式 (5) は「f という特定の関数についての式」ではありません． 1 回微分できる関数なら何にでも使える式です．だから f の代わりに f′ を入れてよい．

(6)

f^{'} (x) ≒ f^{'} (a) + (x - a) f^{″} (a)

これを (3) の波括弧の中へ入れて，素直に積分します．

f (a + h) ≒ f (a) + \int_{a}^{a + h} {f^{'} (a) + (x - a) f^{″} (a)} d x

積分の中で $f^{'} (a)$ と $f^{″} (a)$ はただの定数です（a での値なので，x には依りません）．積分するのは 1 と (x−a) だけ：

\int_{a}^{a + h} 1 d x = h, \int_{a}^{a + h} (x - a) d x = {[\frac{{(x - a)}^{2}}{2}]}_{a}^{a + h} = \frac{h^{2}}{2}

したがって

(7)

f (a + h) ≒ f (a) + h f^{'} (a) + \frac{h^{2}}{2!} f^{″} (a) （2 次近似）

ふたたび $x = a + h$ と置くと，

(8)

f (x) ≒ f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(x - a)}^{2}

2! が出てきた理由

2!

は「2 を掛けた」のではなく，

(x - a)

を積分したときに出た 1/2 です．次の段では

{(x - a)}^{2} / 2

を積分して 1/6 が出ます．Taylor 展開の分母の階乗は，積分を n 回繰り返した跡なのです．

4. もう一度，そして n 回

いま手に入れた 2 次近似 (8) も，やはりどんな関数にも使える式です．だからもう一度 f′ に適用します．

(9)

f^{'} (x) ≒ f^{'} (a) + f^{″} (a) (x - a) + \frac{f^{‴} (a)}{2!} {(x - a)}^{2}

これを (3) に代入して積分します．今度は $\int_{a}^{a + h} {(x - a)}^{2} d x = h^{3} / 3$ が加わって，

(10)

f (a + h) ≒ f (a) + h f^{'} (a) + \frac{h^{2}}{2!} f^{″} (a) + \frac{h^{3}}{3!} f^{‴} (a) （3 次近似）

一般の段（数学的帰納法）

もう仕組みが見えました．「n−1 次まで正しい」と仮定して，それを f′ に使うと

f^{'} (x) ≒ \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{f^{(k + 1)} (a)}{k!} {(x - a)}^{k}

これを (3) に入れ， $\int_{a}^{a + h} {(x - a)}^{k} d x = h^{k + 1} / (k + 1)$ を使うと，

f (a + h) ≒ f (a) + \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{f^{(k + 1)} (a)}{k!} \cdot \frac{h^{k + 1}}{k + 1} = f (a) + \sum_{m = 1}^{n} \frac{f^{(m)} (a)}{m!} h^{m}

$k! \cdot (k + 1) = (k + 1)!$ なので， $m = k + 1$ と番号を付け替えるだけで分母がきれいに $m!$ にそろいます．これが n 次の式で，帰納法が 1 段回りました． $x = a + h$ と戻せば

(11)

f (x) ≒ \sum_{n = 0}^{N} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n} \equiv T_{N} (x)

同じ 1 手しか使っていません「接線で近似する」→「その近似を積分の中に入れ直す」．この 2 つを交互に繰り返しただけです．新しい定理も，うまい変形も，一切要りません． Taylor 展開とは，微積分学の基本定理を n 回入れ子にしたものです．

別の見方 ―― 微分係数を合わせにいく

出来上がった (11) を x = a で微分してみると，面白いことが分かります． $T_{N} (a) = f (a)$ ， $T_{N}^{'} (a) = f^{'} (a)$ ，…と， N 階微分まですべて f と一致します （ ${(x - a)}^{n}$ を n 回微分すると n! になり，分母の n! とちょうど打ち消し合うからです）．逆に「N 階微分まで一致する N 次多項式」は 1 つしかないので， Taylor 多項式は，その条件だけで一意に決まってしまうのです．

5. 剰余項 R ―― 平均値の定理の拡張

ここまで全部 ≒ で書いてきました．捨ててきた分をきちんと 1 個にまとめると，講義ノートの「おまけ話」―― Taylor の定理は平均値の定理の拡張である ―― が見えます．

誤差を $R = f (x) - T_{N} (x)$ と置きます．x を固定して，中心の側を動かす関数

g (t) = f (x) - \sum_{k = 0}^{N} \frac{f^{(k)} (t)}{k!} {(x - t)}^{k}

を考えると， $g (x) = 0$ ， $g (a) = R$ です．これを t で微分すると，和のほとんどが望遠鏡のように打ち消し合って，

(12)

g^{'} (t) = - \frac{f^{(N + 1)} (t)}{N!} {(x - t)}^{N}

1 項だけが生き残ります．ここで $φ (t) = {(x - t)}^{N + 1}$ を相棒にして Cauchy の平均値の定理を使えば，a と x の間のある c で

\frac{g (x) - g (a)}{φ (x) - φ (a)} = \frac{g^{'} (c)}{φ^{'} (c)} ⟹ \frac{- R}{- {(x - a)}^{N + 1}} = \frac{f^{(N + 1)} (c)}{(N + 1)!}

（ ${(x - c)}^{N}$ が上下で約分されるのが気持ちのよいところです．）整理すると，講義ノートの Check! そのものです．

(13)

R = \frac{f^{(N + 1)} (c)}{(N + 1)!} {(x - a)}^{N + 1} （c は a と x の間）

なぜ「平均値の定理の拡張」なのか (13) で

N = 0

と置いてみてください．

f (x) = f (a) + f^{'} (c) (x - a)

―― 平均値の定理そのものです． Taylor の定理は，平均値の定理を「1 階微分」から「N+1 階微分」へ持ち上げたものだった，ということです．講義ノートの「おまけ話」は，この事実を指しています．

「存在する」としか言っていません定理が保証するのは c がどこかにあることだけで，どこにあるかは教えてくれません．実用上は「

f^{(N + 1)}

の絶対値の最大値」で押さえて上界を作ります．シミュレーターのタブ②では，その c を実際に数値で探して表示しています．

図 2．誤差 R は h^N+1 で落ちる． 横軸・縦軸とも対数です．直線の傾きがそのまま N+1 になります ―― N 次で打ち切ったとき，誤差が h の何乗で消えるかが目で読めます．

関数中心 a = 0.30

6. Maclaurin 展開 ―― sin, cos, e^x

$a = 0$ と置いたものを Maclaurin 展開といいます．あとは $f^{(n)} (0)$ を並べるだけです．

	f	f′	f″	f‴	f⁽⁴⁾	0 での値の並び
sin x	sin	cos	−sin	−cos	sin	0, 1, 0, −1, 0, 1, …
cos x	cos	−sin	−cos	sin	cos	1, 0, −1, 0, 1, 0, …
e^x	e^x	e^x	e^x	e^x	e^x	1, 1, 1, 1, 1, 1, …

これを (11) に入れるだけで，有名な 3 本が出ます．

(14)

\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{m}}{(2 m + 1)!} x^{2 m + 1}

(15)

\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

sin が奇数次しか持たない理由 sin は奇関数（

f (- x) = - f (x)

）なので，偶数次の項があってはいけません．実際，表のとおり

f (0) = f^{″} (0) = 0

です．シミュレーターで sin を選んで次数を上げると， 偶数次では帯がまったく広がらず，奇数次でだけ跳ぶのが見えます．

おまけ ―― Euler の公式が落ちてくる

(15) の e^x に，思い切って $x = i θ$ を入れてみます． $i^{2} = - 1$ なので $i^{0}, i^{1}, i^{2}, i^{3}, \dots = 1, i, - 1, - i, \dots$ と 4 つ周期で回ります．実部だけ集めると (15) の cos，虚部だけ集めると (14) の sin ―― つまり

(16)

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

指数関数と三角関数という，見かけ上まるで関係のない 2 つが繋がりました． 「同じ級数を，偶数次と奇数次に分けただけ」です．波動関数・交流回路・フーリエ変換 ―― 物理で e^iθ を平気で使えるのは，この 1 行のおかげです．

7. どこまで使えるのか ―― 収束半径

$N \to \infty$ にすれば必ず f に戻る，とは限りません．戻るための条件は，(13) の剰余が 0 に落ちること ―― ただそれだけです．

関数	剰余の中身	結果
sin x, cos x	$\| f^{(N + 1)} \| \leq 1$ なので $\| R \| \leq {\| x \|}^{N + 1} / (N + 1)!$	どんな x でも 0 へ（階乗が指数に勝つ）
e^x	区間の端の値で押さえられる	同じく，どこまでも収束
1/(1−x)	剰余がちょうど $x^{N + 1} / (1 - x)$	\|x\| < 1 だけ．外では発散

1/(1−x) が x = 1 で止まるのは納得できます．関数そのものがそこで発散するからです．ところが，まったく同じことが 1/(1+x²) でも起きます ―― この関数は実軸のどこでも滑らかで，有界で，壊れる場所が 1 つも無いのに，です．

答えは複素平面にあります

1 / (1 + z^{2})

は

z = \pm i

で分母が 0 になります．原点からそこまでの距離は 1．収束半径は，展開の中心から複素平面上のいちばん近い特異点までの距離に等しい ―― これは，展開の中心のまわりで正則な（複素数の意味で微分できる）関数について成り立つ複素関数論の定理です．（収束半径そのものを係数から与えるのは Cauchy–Hadamard の公式 1/R = lim sup |c_n|^1/n のほうで，§10 で使っているのはこちらです．）実軸のグラフを見ているかぎり，なぜ 1 で止まるのかその理由は見えません． Taylor 展開は，本当は複素関数論の話なのです．

図 3．収束半径を複素平面で見る． × が特異点，青い円が収束円 |z − a| = R．下の帯が実軸で，円が実軸を切り取る区間だけが「級数が使える x の範囲」です． a を動かすと，円が特異点に触れないぎりぎりまで膨らむのが見えます．

関数中心 a = 0.00

8. 収束しても，元の関数に戻らないことがある

もうひとつ，剰余項を無視できない理由があります．

(17)

f (x) = {\begin{cases} e^{- 1 / x^{2}} & (x ≠ 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}

この関数は何回でも微分できます．ところが x = 0 では， すべての階の微分係数が厳密に 0 になります（ $e^{- 1 / x^{2}}$ が， $1 / x$ のどんな冪よりも速く 0 へ潰れるからです）．すると Maclaurin 展開は

T_{N} (x) = 0 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + \dots = 0 （N によらず）

級数は収束します．でも f ではありませんこの級数はどんな x でも収束します（収束半径は ∞）．収束先は 0 です．一方 f(1) = e⁻¹ = 0.3679．級数と関数が一致していません．剰余 R = f(x) − 0 = f(x) は，次数を上げても一切減りません．

つまり「係数を全部計算して級数を作れば元の関数に戻る」は，それ自体が証明の要る主張です．そして証明するとは，

R \to 0

を示すこと．講義ノートが Definition の段階から

R_{n + 1}

を式に書き込んでいるのは，そのためです．

9. 物理で，どこに効いてくるか

場面	使う展開	そこから出るもの
単振り子	sin θ ≒ θ	単振動の式，T = 2π√(L/g)
安定なつり合いの近く	V(x) ≒ V(x₀) + ½V″(x₀)(x−x₀)²	すべてが調和振動子になる．フォノン，分子振動
小さい補正のついた量	(1+x)^α ≒ 1 + αx（二項近似）	α = ½ で √(1+x)，α = −1 で 1/(1+x)，α = −½ で次の行の γ
相対論 → Newton 力学	γ = 1 + ½β² + ⅜β⁴ + …	E = mc² + ½mv² + …
Planck → 古典	x/(e^x−1) = 1 − x/2 + x²/12 − …	⟨E⟩ = k_BT（等分配則，Rayleigh–Jeans）
摂動論	H = H₀ + λV を λ で展開	1 次摂動，2 次摂動のエネルギー
数値計算	差分・Runge–Kutta・Simpson 則	誤差が h^N+1 で落ちること自体が (13)

「安定なつり合いの近く」の具体例が，シミュレーターのタブ③の Lennard-Jones ポテンシャル V(r) = 4ε[(σ/r)¹² − (σ/r)⁶] です．底 r₀ = 2^1/6σ のまわりで展開すると V′(r₀) = 0 なので 2 次から始まり， V″(r₀) がそのままばね定数になります．さらに 3 次の項は底の左右の非対称性を表す非調和項で，熱膨張の起源です．中心が原点でない（a ≠ 0 の）展開の実例にもなっています．

「小さい量」は無次元でなければいけません β = v/c，x = hν/k_BT，θ［rad］，λ．どれも単位を持ちません．「v が小さい」には意味がありませんが（何に比べて？），「v/c が小さい」には意味があります． 何に比べて小さいのかを言えたときに，初めて展開できる ―― これが物理での Taylor 展開の作法です．

10. 数値で確かめる

ここまでの式が本当に成り立つかを，すべて計算機で確かめました．以下の数値はシミュレーターに載っているコードそのものを走らせた結果です（合計 124 項目，すべて通過）．

確かめたこと	結果
(14)(15)：sin, cos, e^x を含む 9 関数の係数 c₀…c₉ が教科書どおりか	最大差 6.1×10⁻¹⁶
(11)： $f^{(n)}$ の解析式 vs 数値微分（Richardson 外挿）	最大相対差 4×10⁻⁵（丸めの床）
(13)：実際の誤差 ≦ Lagrange の上界（9 関数 × N = 0…10，99 通り）	すべて成立．上界÷誤差の最小 1.013
(13)：等式を満たす c を実際に探して両辺を突き合わせ	最大相対差 2.0×10⁻¹⁵
(13) で N = 0 が平均値の定理そのものか	3 例とも一致（10⁻⁹ 以下）
(13)：誤差が h^N+1 で落ちるか（対数-対数の傾き，N = 0…5）	0.99, 2.04, 3.00, 4.02, 5.00, 6.02
(16)：exp の級数に x = iθ を入れると cos + i sin になるか	最大差 2.2×10⁻¹⁶，e^iπ+1 = 2.4×10⁻¹⁶
§7：収束半径 = 複素特異点までの距離（収束半径は Cauchy–Hadamard の公式 \|c_n\|^−1/n で算出）	6 通りとも一致（n = 60 で 9 % 以内）
§7：1/(1−x) の剰余が厳密に x^N+1/(1−x) か	16 通り，丸めの見積りの 1.8 倍以内
§8：e^−1/x² で f⁽⁰⁾…f⁽³⁰⁾(0) が全部 0，T₄₀(1) = 0 なのに f(1) = e⁻¹	誤差 0.3679（N によらず一定）
教材の主張：「誤差 1 % 以内の範囲」が N とともに広がるか（sin, N=1,3,5,9,15．1 % は画面内の max\|f\| に対する割合）	0.39 → 1.04 → 1.76 → 3.25 → 5.50
同上：1/(1−x) では N = 40 まで上げても 1 を越えないか（N=1,5,15,40，特異点 x = 1 側の端）	0.24 → 0.57 → 0.78 → 0.89（< 1）

11. まとめ

出発点は微積分学の基本定理だけ． $f (a + h) = f (a) + \int f^{'}$ は厳密な式です (3)．
接線による 1 次近似 (5) は，f 専用ではなく f′ にも使えます．それを積分の中に入れ直すと 2 次が生まれる (7)(8)．
同じ手をもう一度で 3 次 (10)．一般には帰納法で n 次 (11)． 分母の階乗は，積分を繰り返した跡です．
捨てた分をまとめると Lagrange の剰余項 (13)． $N = 0$ がちょうど平均値の定理で，講義ノートの「おまけ話」はこのことです．
Maclaurin 展開（a = 0）で sin, cos, e^x が出て (14)(15)， $x = i θ$ を入れると Euler の公式が落ちてきます (16)．
使える範囲（収束半径）は，複素平面でいちばん近い特異点までの距離で決まります． 1/(1+x²) が実軸で無傷なのに |x| > 1 で壊れるのは，そのためです．
級数が収束することと，元の関数に戻ることは別です (17)．戻ることを保証するのは，いつでも剰余項 R → 0 だけです．

東京理科大学望月研究室／講義ノート「(21) Taylor's theorem（テイラーの定理）」より． §5 の Cauchy の平均値の定理による証明と，§7 の収束半径・§8 の反例はノートの範囲外を補ったものです．数値検証は倍精度の直接計算，Richardson 外挿による数値微分，Cauchy–Hadamard の n 乗根による．グラフで確かめたい方はシミュレーターへ．数式はブラウザ標準の MathML で組んでいます（外部ライブラリ・通信は一切ありません）．