「群の名前」は，何を変えずに保つ変換の集まりかを表す記号です．その群が物理の状態としてどう見えるのかを，6 枚のタブで動かしながら確かめます．（ジョージアイ『物理学におけるリー代数』の副読教材として）
群の名前 ＝ 「何を変えないか」の宣言
いま見ているもの：群変換をかけても値が動かない量（不変量）を，右のスライダーを動かしながら数値で見張ってください．
保存されるもの
変換のパラメーター
不変量の見張り
同じリー代数，違う群 ― 1 回転して戻らないもの
いま見ているもの：2 つの群と，共通の 1 つの代数左：スピンの向き（＝ SO(3) が見ている世界）．右：スピノル 2 成分の複素位相（＝ SU(2) が見ている世界）．θ を 360° まで回してから，両者を見比べてください．
中性子干渉計：ビームを 2 つに分け，片方だけを磁場で θ だけ回して重ね直したときの強度．I = cos²(θ/4) ―― 360° では暗く，720° で初めて明るさが戻ります．スピノルの符号は「観測できる」のです．
回転
初期スピノル |ψ⟩
いま何が起きているか
既約表現 ＝ 「これ以上ばらせない状態の一組」
いま見ているもの：表現昇降演算子 J± で状態をはしご状に登り降りします．はしごの上端と下端で係数がちょうど 0 になること ―― これが 2j+1 という次元を決めています．
2 つの多重項の合成：j1 ⊗ j2 = (j1+j2) ⊕ … ⊕ |j1−j2|．積表現は既約ではなく，既約表現の直和にばらけます．
表現を選ぶ（j）
はしごを登り降りする
物理の多重項として見る
同じ j なら，スピンでもアイソスピンでも数学はまったく同じです．合成（テンソル積）
いまの状態
ランク 2 だから，状態は「平面の上の点」になる
いま見ているもの：表現（ウェイト）SU(3) では同時に対角化できる生成子が 2 つ（I3 と Y）．だから状態には量子数のラベルが 2 枚つき，多重項は平面上の図形になります．点をクリックすると 6 本の昇降演算子の行き先が見えます．
有名な表現
ディンキン・ラベル (p, q)
表示
選んだウェイト
ルート系 ― 単純ルートの角度は 4 通りしかない
いま見ているもの：リー代数（ルート）ルート＝随伴表現のウェイト＝「昇降演算子が状態を動かす向き」．ルート同士のなす角が 90°・120°・135°・150° に限られることから，可能な単純リー代数がすべて決まってしまいます（カルタンの分類）．ルートをクリックすると，その鏡映（ワイル変換）が走ります．
ランク 2 のルート系
群の族を選ぶ
この群のプロフィール
1 世代 16 個 ― ばらばらの部品が，1 つの既約表現に収まるまで
いま見ているもの：表現（1 世代 ＝ 1 つの既約表現）左のボタンで束ね方を切り替えると，同じ 16 個の粒子が組み替わります．標準模型では 6 つの無関係な塊．SU(5) では 3 つ．SO(10) では，たった 1 つ．
束ね方
表示
選んだ粒子
すべてブラウザの中だけで計算しています（外部ライブラリ・通信なし）．ウェイトの多重度はフロイデンタールの漸化式を，ルート系は単純ルートからの鏡映の閉包を，その場で解いています．
姉妹ページ：リー群とリー代数 ― 「群の名前」の読み方（解説） ｜ 東京理科大学 望月研究室