ふつうのサイコロの目の期待値は 7/2．では面をどんどん増やしていったら？ 面が増えると 1 つの面が出る確率は 0 に潰れていきますが， 確率を目の幅で割った確率密度は残ります． そこで和は積分に変わり ―― その確率密度が |ψ|² です． 最後に，何度測っても同じ値が出る固有値と， ばらつきの中心である期待値のちがいを見ます．
東京理科大学 望月研究室 ／ 講義ノート「(19) 期待値（平均値）」， 講義「マテリアル計算科学」第 2 回「量子力学での物理量を計算する方法」より． 式の導出と，量子力学の平均値がなぜ期待値そのものなのかは こちらのページにあります．