行列式は「計算のしかたを覚える記号」ではありません． 2 次元なら2 本のベクトルが張る平行四辺形の面積， 3 次元なら3 本が張る平行六面体の体積です． だから 行列式が 0 ＝ つぶれている ＝ 線形従属． どこまでつぶれたかを数えるのが rank で， そこから連立方程式の解の形（点・直線・平面）まで一本につながります．
東京理科大学 望月研究室 ／ 講義ノート「(16) 行列式が 0 であることと 0 でないことは何を意味するのか？」より． 導出は こちらのページにあります．