行列式は，なぜ面積や体積になるのか

― 講義ノート「(16) 行列式が 0 であることと 0 でないことは何を意味するのか？」の導出

行列式は，覚えるべき計算手順として教わってしまうことが多い量です．でも本当は，たった一言で言えます ―― 行列式は，ベクトルたちが張る図形の「大きさ」です． 2 次元なら面積，3 次元なら体積．そう思って眺めると， det = 0 も，線形独立も，rank も，連立方程式の解の形も，ぜんぶ同じ 1 枚の絵の別の言い方になります．

この導出の道筋 ① 2×2 の行列式が平行四辺形の面積になることを，じかに計算して確かめる． ② 「面積」が満たすべき性質を 3 つ書き出すと，それだけで行列式の形が決まってしまうことを見る． ③ 同じ 3 つの性質を 3 次元に持ち上げると体積になる． ④ つぶれた（det = 0）ときに何が起きるかを，rank と自由度で数える．

1. 2×2 ―― まず，じかに計算してみる

講義ノートの例をそのまま追います． $a = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ ， $b = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$ を列に並べて行列を作ると

(1)

A = [\begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix}], | A | = 2 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 6

一方，この 2 本が張る平行四辺形の面積を幾何で求めます．全体を囲む長方形（横 4，縦 5）から，まわりの 2 つの長方形（合計 4）と 4 つの三角形（合計 10）を引くと

(2)

S_{1} = 20 - (4 + 10) = 6

(1) = (2)．行列式は，平行四辺形の面積そのものでした．

一般に成り立つこと

$a = (a_{x}, a_{y})$ ， $b = (b_{x}, b_{y})$ として，同じことをやります．平行四辺形の面積は「底辺 × 高さ」＝ $| a | | b | \sin θ$ です．ここで $\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$ と $a \cdot b = | a | | b | \cos θ$ を使うと，

{(面積)}^{2} = {| a |}^{2} {| b |}^{2} - {(a \cdot b)}^{2} = (a_{x}^{2} + a_{y}^{2}) (b_{x}^{2} + b_{y}^{2}) - {(a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y})}^{2}

展開すると $a_{x}^{2} b_{x}^{2}$ と $a_{y}^{2} b_{y}^{2}$ が消え，

(3)

{(面積)}^{2} = {(a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})}^{2} ⟹ 面積 = | a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} |

これが Lagrange の恒等式です

{| a |}^{2} {| b |}^{2} - {(a \cdot b)}^{2} = {| a \times b |}^{2}

． 2 次元の行列式は，外積の（ただ 1 つの）成分そのものだった，ということです．

図 1．長方形から余りを引くと，行列式が残る． 講義ノートの数え方をそのまま絵にしたものです． 外側の長方形から，まわりの三角形と長方形を引くと平行四辺形の面積になり，それが $a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}$ と一致します．

a_x = 2.0 a_y = 1.0 b_x = 2.0 b_y = 4.0

2. 面積が満たすべき 3 つの性質

実は，計算しなくても行列式の形は決まってしまいます．「面積」に当然あってほしい性質を書き出すだけでよいのです．

性質	式	面積として当たり前なこと
線形性	$D (k a, b) = k D (a, b)$ $D (a + a^{'}, b) = D (a, b) + D (a^{'}, b)$ （ $b$ についても同じ）	底辺を 2 倍に伸ばせば，面積も 2 倍．底辺を 2 本に分ければ，面積も 2 つの和
交代性	$D (a, a) = 0$	同じ向きの 2 本では，平行四辺形がつぶれる
規格化	$D (e_{1}, e_{2}) = 1$	単位正方形の面積は 1

この 3 つだけで十分です． $a = a_{x} e_{1} + a_{y} e_{2}$ ， $b = b_{x} e_{1} + b_{y} e_{2}$ を入れて線形性でばらすと 4 項出ますが，交代性のおかげで $D (e_{1}, e_{1})$ と $D (e_{2}, e_{2})$ が消え，さらに交代性から出る $D (e_{2}, e_{1}) = - D (e_{1}, e_{2})$ （下の囲みを見てください）でまとめると，

(4)

D (a, b) = (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) D (e_{1}, e_{2}) = a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}

行列式は「発明」ではなく「必然」 面積らしさを 3 つ要求しただけで，行列式の式が一意に出てきました．だから逆に言えば ―― 行列式とは，面積（体積）を代数で書いたものにほかなりません．

交代性からは「2 つの列を入れ替えると符号が変わる」も出ます（

D (a + b, a + b) = 0

を展開してみてください）．この符号が，向き（2 次元なら裏返し，3 次元なら右手系・左手系）を表します．

3. 3×3 ―― 体積になる

同じ 3 つの性質を 3 本のベクトルに拡張すると，出てくるのは

(5)

D (f, g, h) = (f \times g) \cdot h

この形は，体積の定義そのままです． $| f \times g |$ が底面の平行四辺形の面積， $f \times g$ は底面に垂直なので， $h$ をその向きに射影した長さが高さ．掛ければ底面積 × 高さ＝体積です．ただし (f × g)·h は符号つきの量で，体積そのものはその絶対値 |(f × g)·h| です．符号は右手系か左手系かを表します．

講義ノートの例で確かめます． $f = (1, 2, 3)$ ， $g = (2, - 1, 1)$ ， $h = (1, 1, 2)$ ：

(6)

| C | = - 2 + 6 + 2 + 3 - 8 - 1 = 0

体積 0 ＝ 3 本が同じ平面に乗っている実際

f \times g = (5, 5, - 5)

で，

h \cdot (5, 5, - 5) = 5 + 5 - 10 = 0

． h は底面の法線と垂直 ―― つまり底面の中にいます．もっとはっきり言えば h = 0.6 f + 0.2 g． h は新しい方向を何も持ち込んでいないので，高さが立たず，体積が 0 になるのです．講義ノートが「この f, g, h は全て面 S 上にある！→ 線形従属である」と書いているのは，このことです．

4. det = 0 は「つぶれた」という意味

ここまでをまとめると，次の言い換えがすべて同じ意味になります（幾何の欄は n = 3，つまり 3 次元の場合です．2 次元なら「平面」を「直線」，「直線」を「原点」と読み替えてください）．

幾何の言葉	代数の言葉	連立方程式の言葉
面積（体積）が 0 でない	det ≠ 0，線形独立，rank = n	解は原点だけ（自明な解のみ）
つぶれて平面になった	det = 0，rank = n − 1	解が直線になる（自由度 1）
つぶれて直線になった	det = 0，rank = n − 2	解が平面になる（自由度 2）

「どこまでつぶれたか」を数えるのが rank です det はつぶれたかどうかしか教えてくれません（0 か，0 でないか）． 平面までつぶれたのか，直線までつぶれたのかを区別するには rank が要ります． rank は「行基本変形で階段形にしたとき，0 でない行の数」＝ 本当に効いている式（独立な方向）の本数です．

5. 自由度＝ n − rank

同次連立方程式 Mx = 0 を考えます．講義ノートの例②：

{\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 0 \\ 2 x_{1} - x_{2} + 3 x_{3} = 0 \\ 4 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 0 \end{cases} ⟶ [\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] rank = 2

3 本目の式は，1 本目・2 本目から作れてしまいます（消去すると 0 = 0 になる）．つまり本当に効いている式は 2 本だけ．未知数は 3 つあるので，

(7)

自由度 = n - rank M = 3 - 2 = 1

$x_{3} = k$ と置けば $x_{2} = k$ ， $x_{1} = - k$ ．解は x = k(−1, 1, 1) ―― 原点を通る 1 本の直線まるごとです．例③（係数行列を M′ と書きます）では 3 本の式がすべて同じ式の定数倍なので rank = 1，自由度 2 で，解は 2x₁ − x₂ + x₃ = 0 という平面になります．

3 枚の平面の交わり，と思うと分かりやすい ax₁ + bx₂ + cx₃ = 0 は原点を通る平面です． 3 枚の法線が線形独立なら，つまり 3 枚ぶんの向きが出そろっていれば，共通点は原点だけ（自由度 0）． 2 枚ぶんしか向きが無ければ，交わりは直線（自由度 1）． 1 枚ぶんしか無ければ，交わりは平面まるごと（自由度 2）． rank とは「何枚ぶんの向きがあるか」なのです．

6. det(AB) = det A · det B

行列を「変換」と見ると，|det| は面積が何倍になるかの倍率です．だから 2 つ続けて変換すれば，面積の倍率は掛け算になり，向きが裏返るかどうかも掛け合わされます ―― それが $\det (A B) = \det A \cdot \det B$ です．行列の積の定義から力ずくで証明することもできますが，面積の倍率だと思えば当たり前です．

A の 1 列目 x = 2.0 A の 1 列目 y = 0.5 B の 2 列目 x = −0.8 B の 2 列目 y = 1.2

7. なぜ量子化学で「行列式 = 0」と置くのか

ここまで来ると，永年方程式の意味がそのまま読めます．分子軌道の問題では

(8)

(H - ε S) c = 0

という同次連立方程式が出てきます． c = 0 では波動関数が消えてしまうので，自明でない解が必要です．そのためには「つぶれていなければならない」―― つまり

(9)

\det (H - ε S) = 0

この条件から ε（エネルギー準位）が決まります． 「行列式を 0 と置く」は計算のおまじないではなく，「解が原点だけにならないように，空間をわざとつぶす」という幾何の要請だったのです．実際に動かして確かめたい方は Lagrange の未定乗数法のページへどうぞ．

8. 数値で確かめる

シミュレーターに載っているコードそのものを走らせた結果です（32 項目，すべて通過）．

確かめたこと	結果
(1)(2)：講義ノートの \|A\| = 6 と，幾何で数えた面積 6 が一致するか	両方 6.000000000000
(3)：\|det\| = 底辺 × 高さ（ランダムなベクトル 500 組）	最大差 1.8×10⁻¹⁵
(5)：\|det\| = 底面積 × 高さ（3 次元，ランダム 500 組）	最大差 1.4×10⁻¹⁴
(6)：講義ノートの \|C\| = 0，rank = 2，h = 0.6f + 0.2g	det = 0，法線 (5, 5, −5) に 3 本とも垂直
(4)：列の入れ替えで符号反転，同じ列で 0，単位行列で 1，回転で 1	すべて厳密に成立
§6：det(AB) = det A · det B	5 = 5 × 1（厳密）
(7)：例② rank 2 → 解 x = k(−1, 1, 1)，M·x = 0	残差 0（厳密）
例③ rank 1 → 自由度 2，解は 2x₁ − x₂ + x₃ = 0 の平面	基底 2 本とも M′·v = 0
det ≠ 0 の例：rank 3，解空間の次元 0	x = 0 のみ
次元定理 rank + 自由度 = 3（ランダム 300 通り）	不一致 0 件
det = 0 ⟺ rank < 3（det = 0 の例を混ぜた 400 通り，うち 220 件が det = 0）	食い違い 0 件

9. まとめ

2×2 の行列式は平行四辺形の面積，3×3 は平行六面体の体積です (3)(5)．符号は向き（裏返し・右手系か左手系か）を表します．
「面積らしさ」を 線形性・交代性・単位正方形は 1 の 3 つだけ要求すると，行列式の式が一意に決まってしまいます (4)．行列式は発明ではなく必然です．
det = 0 ＝つぶれた＝線形従属． 2 次元なら 2 本が 1 直線に，3 次元なら 3 本が 1 平面（または 1 直線）に乗っています．
どこまでつぶれたかを数えるのが rank． 自由度 = n − rank で，同次連立方程式の解が 点・直線・平面のどれになるかが決まります (7)．
|det| は面積の拡大率．だから $\det (A B) = \det A \cdot \det B$ は「倍率の掛け算」にすぎません．
量子化学の永年方程式 det(H − εS) = 0 は，「波動関数が消えないよう，自明でない解を残すための条件」―― 幾何の要請でした (8)(9)．

東京理科大学望月研究室／講義ノート「(16) 行列式が 0 であることと 0 でないことは何を意味するのか？」より． §2 の「3 つの性質から一意に決まる」話と §6 の det(AB) は，ノートの外を補ったものです．数値検証は倍精度の直接計算と，部分ピボット選択つき Gauss の消去法による．動かして確かめたい方はシミュレーターへ．数式はブラウザ標準の MathML で組んでいます（外部ライブラリ・通信は一切ありません）．