波束の広がり σ(t) はどこから来るのか

― Ehrenfest の定理と同じ道具だけで導く（学部 2・3 年生向け）

投げ上げた粒子のシミュレーターで，軌道のまわりの「ぼやけ」を $σ (t) = \sqrt{σ_{0}^{2} + {(\frac{ℏ t}{2 m σ_{0}})}^{2}}$ という式で描いています．この式がどこから来るのかを，順を追って導きます． 使う道具は Ehrenfest の定理を導いたときとまったく同じで，新しい数学は要りません．

結論を先にポテンシャルが位置の 1 次までなら（一様重力場はまさにこれ）， 運動量の広がり $σ_{p}$ は時間によらず一定で，位置の広がりだけが「速度が決まっていない分」だけ時間とともに増えていきます（位置と運動量に初期相関がない場合．相関があると，しばらく縮んでから広がることもあります）．しかも 導出の途中で力の項がきれいに消えるので，重力は広がり方に一切影響しません．

0. 設定

質量 m の粒子が，一様な力を受けて動いているとします．ハミルトニアンは

H = \frac{p^{2}}{2 m} + V (x), V (x) = F x （F は定数．V の傾きで，力は −F）

投げ上げの問題なら x を鉛直方向 y と読み替えて $V = m g y$ ，つまり $F = m g$ です（力は $- \frac{\partial V}{\partial y} = - m g$ ，下向き）．水平方向は F = 0 の特別な場合なので，以下の話にそのまま含まれます．

「ぼやけ」として測りたいのは，位置の標準偏差です．

{σ_{x} (t)}^{2} \equiv ⟨ x^{2} ⟩ - {⟨ x ⟩}^{2}

1. まず直感で（30 秒版）

波束は，位置も運動量も 1 つの値に決まっていません．不確定性原理は，幅 $σ_{0}$ に構えた波束が持つ運動量のばらつきに下限を与えます．等号が成り立つ最小不確定性の Gauss 波束なら

Δ p = \frac{ℏ}{2 σ_{0}} \Rightarrow Δ v = \frac{Δ p}{m} = \frac{ℏ}{2 m σ_{0}}

だけの速度のばらつきを持ちます．速度が $Δ v$ だけ不確かなら， t 秒後の位置は $Δ v t$ だけ余計に不確かになります．もとの幅 $σ_{0}$ とこの分は独立な原因なので，標準偏差は二乗和で足されて

σ {(t)}^{2} = σ_{0}^{2} + {(Δ v t)}^{2} = σ_{0}^{2} + {(\frac{ℏ t}{2 m σ_{0}})}^{2}

これで答えは出ています．ただし「二乗和でよいのか」「重力は本当に効かないのか」はこの議論では分かりません．そこをきちんとやるのが次の節です．

2. きちんと導く ― Ehrenfest の道具だけで

2.1　使うのはこの 1 本だけ

時間を陽に含まない演算子 $\hat{A}$ について，期待値の時間変化は

(1)

\frac{d}{d t} ⟨ \hat{A} ⟩ = \frac{i}{ℏ} ⟨ [\hat{H}, \hat{A}] ⟩

$\hat{A}$ = $\hat{x}$ と $\hat{p}$ に対してこれを使ったものが，まさに Ehrenfest の定理でした． 同じ式を ${\hat{x}}^{2}$ , ${\hat{p}}^{2}$ , $\hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x}$ にも使う，というのが今回やることです．

2.2　必要な交換子

$[\hat{x}, \hat{p}] = i ℏ$ だけから，次が出ます（手を動かして確かめてみてください）．

$\hat{A}$	$[\hat{H}, \hat{A}]$	使った関係
$\hat{x}$	$- i ℏ \frac{\hat{p}}{m}$	$[{\hat{p}}^{2}, \hat{x}] = - 2 i ℏ \hat{p}$
$\hat{p}$	$+ i ℏ F$	$[\hat{x}, \hat{p}] = i ℏ$
${\hat{x}}^{2}$	$- i ℏ \frac{\hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x}}{m}$	$[\hat{p}, {\hat{x}}^{2}] = - 2 i ℏ \hat{x}$
${\hat{p}}^{2}$	$+ 2 i ℏ F \hat{p}$	$[\hat{x}, {\hat{p}}^{2}] = 2 i ℏ \hat{p}$
$\hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x}$	$- 2 i ℏ \frac{{\hat{p}}^{2}}{m} + 2 i ℏ F \hat{x}$	上の 2 つを組み合わせる

2.3　5 本の方程式

(1) に入れると，こうなります．

(2)

\begin{array}{rcll} \frac{d ⟨ x ⟩}{d t} & = & \frac{⟨ p ⟩}{m} \\ \frac{d ⟨ p ⟩}{d t} & = & - F & ← Ehrenfest の定理 \\ \frac{d ⟨ x^{2} ⟩}{d t} & = & \frac{⟨ x p + p x ⟩}{m} \\ \frac{d ⟨ p^{2} ⟩}{d t} & = & - 2 F ⟨ p ⟩ \\ \frac{d ⟨ x p + p x ⟩}{d t} & = & \frac{2 ⟨ p^{2} ⟩}{m} - 2 F ⟨ x ⟩ \end{array}

ここが今回の急所です．右辺に $⟨ x^{3} ⟩$ のような，より高次の量が出てきません． 5 本で閉じているので，そのまま解けてしまいます（V が 2 次までのときだけ起きる幸運です．後述）．

2.4　「ゆらぎ」に書き直す

知りたいのは平均のまわりのばらつきなので，次の 3 つを定義します．

\begin{array}{rcll} σ_{x}^{2} & = & ⟨ x^{2} ⟩ - {⟨ x ⟩}^{2} & … 位置の広がり \\ σ_{p}^{2} & = & ⟨ p^{2} ⟩ - {⟨ p ⟩}^{2} & … 運動量の広がり \\ C & = & \frac{1}{2} ⟨ x p + p x ⟩ - ⟨ x ⟩ ⟨ p ⟩ & … 位置と運動量の相関 \end{array}

(2) を使って微分すると（ $⟨ x ⟩$ , $⟨ p ⟩$ の項がちょうど打ち消し合います）：

(3)

\frac{d σ_{p}^{2}}{d t} = - 2 F ⟨ p ⟩ - 2 ⟨ p ⟩ (- F) = 0

(4)

\frac{d C}{d t} = \frac{⟨ p^{2} ⟩}{m} - F ⟨ x ⟩ - \frac{{⟨ p ⟩}^{2}}{m} + F ⟨ x ⟩ = \frac{σ_{p}^{2}}{m}

(5)

\frac{d σ_{x}^{2}}{d t} = \frac{2 C}{m}

⚠ ここを見てください (3) でも (4) でも，F を含む項がきれいに打ち消し合っています． つまり ゆらぎの方程式には力がまったく現れません．重力があってもなくても，波束の広がり方は同じです．力が効くのは

⟨ x ⟩

⟨ p ⟩

（＝中心の運動）だけ，というのがここで分かります．

2.5　解く

(3) → (4) → (5) の順に，ただ積分するだけです．

(6)

\begin{array}{rcll} σ_{p}^{2} (t) & = & σ_{p 0}^{2} & （一定） \\ C (t) & = & C_{0} + \frac{σ_{p 0}^{2} t}{m} \\ σ_{x}^{2} (t) & = & σ_{0}^{2} + \frac{2 C_{0} t}{m} + \frac{σ_{p 0}^{2} t^{2}}{m^{2}} \end{array}

最後に初期状態を決めます．最小不確定性の Gauss 波束（実数の包絡線を持つ，ふつうの Gauss）なら，位置と運動量に初期相関はなく $C_{0} = 0$ で， $σ_{p 0} = \frac{ℏ}{2 σ_{0}}$ です．これを (6) に入れると

(7)

σ (t) = \sqrt{σ_{0}^{2} + {(\frac{ℏ t}{2 m σ_{0}})}^{2}}

第 1 節の直感どおりの式が，今度はきちんと出ました．「二乗和で足してよい」のは (6) で $C_{0} = 0$ だったから，というのが答えです．逆に，はじめから広がりつつある／縮みつつある波束（ $C_{0} \neq 0$ ）なら真ん中の交差項が残り，しばらく縮んでから広がることもあります．

3. 式を読む

3.1　いつから広がり始めるか

(7) は，t が小さいうちはほぼ $σ_{0}$ のまま，ある時刻を境に直線的に伸びます．その境目は

τ = \frac{2 m σ_{0}^{2}}{ℏ} （この時刻で σ = \sqrt{2} σ_{0} ）

この $τ$ の桁がすべてを決めます．

状況	$σ_{0}$	$τ = 2 m σ_{0}^{2} / ℏ$
電子	1 nm	1.7×10⁻¹⁴ s（17 fs）
陽子	1 nm	3.2×10⁻¹¹ s
1 g の物体	1 µm	1.9×10¹⁹ s ≈ 宇宙年齢の 40 倍

1 g の物体を 1 µm の精度で置いたなら，その波束が目に見えて広がるまで宇宙年齢の 40 倍かかります． これが「日常のものが古典力学に従うように見える」ことの正体です．量子力学が間違っているのではなく，広がるのが遅すぎるのです．

3.2　σ₀ の選び方にはトレードオフがある

(7) の 2 つの項は $σ_{0}$ について逆向きに効きます．狭く構えれば第 1 項は小さいが第 2 項が大きい．広く構えればその逆．したがって， ある時刻 T での広がりを最小にする構え方が存在します． $σ_{0}^{2}$ について微分して 0 と置けば

(8)

σ_{0}^{best} = \sqrt{\frac{ℏ T}{2 m}} \Rightarrow {σ (T)}^{\min} = \sqrt{\frac{ℏ T}{m}}

このとき $τ = T$ ちょうどになります．つまり最適な構え方とは，「広がり始める時刻」が「着地する時刻」に一致するように構えることです．下の図で $σ_{0}$ を動かして確かめてみてください．

左：σ(t) の伸び方（点線は 2 つの極限 σ₀ と Δv·t）．右：着地時の広がり σ(T) が σ₀ でどう変わるか（両対数）．谷の底が (8) です．

粒子（v₀ = 1 m/s, θ = 45° で投げ上げ） σ₀

3.3　質量を変えるとどうなるか

(8) は $σ (T) \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ です．質量を 10⁶ 倍軽くしても，ぼやけは 10³ 倍にしかなりません． 効き方がこれだけ緩やかなので，日常の物体と電子のあいだの膨大な質量差がそのまま「古典的に見えるかどうか」の差になります．

粒子	m [kg]	$σ (T)$	$σ (T) / R$	見え方
野球ボール	0.145	1.0×10⁻¹⁷ m	10⁻¹⁶	完全に古典的（原子核より小さい）
微粒子	10⁻⁹	1.2×10⁻¹³ m	10⁻¹²	完全に古典的（原子 1 個より小さい）
C60	1.2×10⁻²⁴	3.6 µm	3.5×10⁻⁵	古典的（ぼやけは飛距離の 10⁻⁵）
電子	9.1×10⁻³¹	4.1 mm	0.040	軌道は見えるがぼやける
電子の 10⁻⁶ 倍	9.1×10⁻³⁷	4.1 m	40	もはや軌道ではない

v₀ = 1 m/s, θ = 45° のとき T = 144 ms, 到達距離 R = 10.2 cm．σ₀ は (8) の最適値．

4. Ehrenfest の定理との関係 ― ここが一番面白いところ

ノート (11) で導いた条件は「波束の広がりの範囲で，力 −∂V/∂x が高々 1 次の式で書けるほど V がなだらかであれば，波束の運動は Newton の運動方程式に従う」でした．これは

⟨ \frac{d V}{d x} (x) ⟩ ≃ \frac{d V}{d x} (⟨ x ⟩)

という近似が要る，という意味です．ところが一様重力場では $\frac{d V}{d y} = m g$ がどこでも定数なので，この近似は近似ですらありません．両辺が最初から等しい．つまり

一様重力場では，Ehrenfest の定理は近似ではなく厳密

\frac{d ⟨ p ⟩}{d t} = - m g

が厳密に成り立ちます．さらに

⟨ p ⟩ = m \frac{d ⟨ y ⟩}{d t}

を使うと

\frac{d^{2} ⟨ y ⟩}{d t^{2}} = - g

となり，平均位置の加速度は質量によりません．したがって どんなに軽い粒子でも，平均の位置はぴったり古典的な放物線の上にあります． 質量を軽くして変わるのは「軌道」ではなく「軌道のまわりのぼやけ」だけです．

「軽い粒子は軌道が曲がる／ずれる」のではありません．中心は最後まで Newton どおりで，その中心のまわりの雲が太くなるのです．シミュレーターで質量を下げていくと，赤い放物線がずっと雲の真ん中に居続けるのはこのためです．

なぜ重力は広がりに効かないのか

2 通りの言い方ができます．どちらも同じことです．

力が一様だから． 波束のどの部分も同じ力を受けるので，全体が同じだけ加速されます．形を変えるには場所によって違う力，すなわち $\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} \neq 0$ が要ります．
自由落下系に乗ればよいから． 一緒に落ちる座標系から見れば，粒子はただの自由粒子です（等価原理）．だから広がり方が自由粒子と同じなのは当たり前，ということになります．実際， $y \to y + \frac{g t^{2}}{2}$ と位相を付け替える変換で Schrödinger 方程式は自由粒子のものに厳密に移ります．

一般の V ではどうなるか (2) が 5 本で閉じたのは V が 2 次までだったからです．たとえば

V \propto x^{3}

だと

\frac{d ⟨ p^{2} ⟩}{d t}

に

⟨ x^{2} p + \dots ⟩

が現れ，その式にはさらに高次が現れ…と無限に続いて閉じません．そこで「広がりが小さいので

⟨ V^{'} (x) ⟩ ≃ V^{'} (⟨ x ⟩)

としてよい」という近似が必要になります．これがノート (11) の条件そのものです．ポテンシャルが位置の 2 次までで書けるとき（自由粒子・一様な力・調和振動子と，それらを足し合わせたもの）だけが，近似なしで済む特別な場合です．

5. 数値で確かめる

上の導出は手計算なので，独立に数値で確かめてあります． Schrödinger 方程式を分割演算子法（split-step Fourier 法）で直接解き，波動関数から $σ_{x}$ , $σ_{p}$ を測って (6) と比べたものです．わざと $m \neq 1$ ， $g \neq 0$ ，初期相関 $C_{0} \neq 0$ （チャープした波束）にしてあります．

t	$σ_{x}$ 数値	$σ_{x}$ ＝式 (6)	差	$σ_{p}$ 数値
0.5	0.84755517	0.84755517	2×10⁻¹¹	0.96168833
1.0	1.16203363	1.16203363	7×10⁻¹¹	0.96168833
2.0	1.85341166	1.85341166	2×10⁻¹⁰	0.96168833
3.0	2.57185495	2.57185495	3×10⁻¹⁰	0.96168833

10 桁一致しています．右端の列にも注目してください． $σ_{p}$ が小数点以下 8 桁まで動いていません．力が働いているのに運動量の広がりはまったく変わらない，という (3) がそのまま見えています．

6. まとめ

期待値の式 (1) を $x^{2}$ , $p^{2}$ , $x p + p x$ にも使うと，ゆらぎだけで閉じた 3 本の方程式 (3)(4)(5) が得られる．
その方程式に力は現れない．だから重力は広がりに効かない．
解くと $σ {(t)}^{2} = σ_{0}^{2} + {(\frac{ℏ t}{2 m σ_{0}})}^{2}$ ．中身は「初めの幅」と「速度が決まっていない分 × 時間」の二乗和．
広がり始めるのは $τ = 2 m σ_{0}^{2} / ℏ$ から．1 g の物体では宇宙年齢の 40 倍．
一様重力場では Ehrenfest の定理が厳密なので，中心は質量によらず古典的な放物線．質量が変えるのは，そのまわりのぼやけの太さだけ．

東京理科大学望月研究室／講義ノート (11)「Ehrenfest の定理」より．数値検証は split-step Fourier 法（自然単位，dt = 10⁻⁴，格子 8192 点）による．数式はブラウザ標準の MathML で組んでいます（外部ライブラリ・通信は一切ありません）．

波束の広がり σ(t) はどこから来るのか

0. 設定

1. まず直感で（30 秒版）

2. きちんと導く ― Ehrenfest の道具だけで

2.1 使うのはこの 1 本だけ

2.2 必要な交換子

2.3 5 本の方程式

2.4 「ゆらぎ」に書き直す

2.5 解く